Bất đẳng thức - Bài tập tự luận

Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$. Lời giải Đề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$. Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $x,y,z>0 $ và $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$. Chứng minh rằng:         $S=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\geq \frac{1}{2}$.

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}        ; ( -x\leq y\leq x+1)\) Lời giải Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}        ; ( -x\leq y\leq x+1)\) Lời giải _Nếu \(x\geq 1\) thì \(f(x,y)\leq 0 \Rightarrow f(x,y)\) lớn nhất là … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Tìm giá trị lớn nhất của:  \(f(x,y)=(1-x)\sqrt{(x-y+1)(x+y)}        ; ( -x\leq y\leq x+1)\)

Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz}        (1)$ Lời giải Đề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz}        (1)$ Lời giải Áp dụng BĐT … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Giả sử $x,y,z > 0$, chứng minh $\frac{1}{x^2+yz} + \frac{1}{y^2 + xz} + \frac{1}{z^2+ xy}\le \frac{x+y+z}{2xyz}        (1)$

Đề bài:  Cho $a,b,c$ dương chứng minh$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)\geq 16abc$ Lời giải Đề bài:  Cho $a,b,c$ dương chứng minh$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)\geq 16abc$ Lời giải Áp dụng BĐT cosi cho 3 số dương a,b,c $(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)\geq 2 \sqrt{a}.2 \sqrt{b}. 2 \sqrt{ac}.2 \sqrt{bc}=16abc … [Đọc thêm...] vềĐề bài:  Cho $a,b,c$ dương chứng minh$(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)\geq 16abc$

Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, ta có:   $2a^3+\frac{3}{a^2}\geq 5$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, ta có:   $2a^3+\frac{3}{a^2}\geq 5$ Lời giải Ta có biến đổi:    $ \displaystyle VT=a^3+a^3+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a$, ta có:   $2a^3+\frac{3}{a^2}\geq 5$

Đề bài: Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq 0$$b)(1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$với $A,B,C$ là $3$ góc của $\triangle ABC$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$a)(1+x)(1+y)(1+z) \geq (1+\sqrt[3]{xyz})^{3}$ với $\forall x,y,z \geq 0$$b)(1+\frac{1}{\sin \frac{A}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}})(1+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}})\geq 27$với $A,B,C$ là $3$ góc của $\triangle ABC$

Đề bài: Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$ Lời giải $\forall x,y>0$,theo BĐT Cauchy ta có:$\left ( x+y \right )\left ( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right )\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b>0$ và $a+b=1$.Chứng minh:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$