📌 Đề bài:
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để đọc các thông tin cực trị từ đồ thị hàm số $y = f(x)$ hoặc bảng biến thiên, ta cần phân biệt rõ các khái niệm:
- Điểm cực đại của hàm số: là giá trị $x_0$ mà tại đó đồ thị chuyển từ đồng biến (đi lên) sang nghịch biến (đi xuống).
- Giá trị cực đại (cực đại) của hàm số: là $y_{\text{CĐ}} = f(x_0)$. Để rèn luyện thêm dạng này, bạn có thể xem bài toán giá trị cực đại của hàm số bậc ba qua đồ thị.
- Điểm cực đại của đồ thị hàm số: là điểm $M(x_0; y_0)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, với $y_0 = f(x_0)$.
Tương tự, đối với cực tiểu, đồ thị đổi chiều từ đi xuống sang đi lên. Bạn có thể tham khảo thêm cách xác định điểm cực tiểu của hàm số để củng cố kỹ năng.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Quan sát đồ thị hàm số $y = f(x)$ đã cho, ta thấy:
- Tại điểm có hoành độ $x = 0$, đồ thị hàm số đạt đỉnh lồi (hàm số đổi hướng từ đồng biến sang nghịch biến) và có tung độ tương ứng $y = 2$. Do đó, đồ thị hàm số đạt cực đại tại điểm $(0; 2)$.
- Tại điểm có hoành độ $x = 2$, đồ thị hàm số đạt đáy lõm (hàm số đổi hướng từ nghịch biến sang đồng biến) và có tung độ tương ứng $y = -2$. Do đó, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $(2; -2)$.
Bài toán hỏi “Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số”, vì vậy tọa độ cần tìm là $(0; 2)$.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B. $(0; 2)$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên với $x_{\text{CĐ}} = -1, y_{\text{CĐ}} = 4$ và $x_{\text{CT}} = 2, y_{\text{CT}} = -3$. Tìm tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Bài tập 2: Cho hàm số bậc ba $y = x^3 – 3x + 2$ có đồ thị $(C)$. Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị $(C)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Với $x = -1 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow A(-1; 4)$ (Điểm cực đại).
Với $x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow B(1; 0)$ (Điểm cực tiểu).
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị: $AB = \sqrt{(1 – (-1))^2 + (0 – 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$. Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng bao nhiêu?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y’ = \frac{(2x + 2)(x + 1) – (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}$.
$y’ = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = -2$.
Lập bảng xét dấu đạo hàm, hàm số đạt cực đại tại $x = -2$ với giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}} = y(-2) = -2$. (Bạn có thể xem thêm dạng tương tự tại bài cực trị hàm phân thức bậc 2 trên bậc 1).
Bài tập 4: Đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x^2 – 4$ có điểm cực tiểu là $M(x_0; y_0)$. Tính tổng $S = x_0 + y_0$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Vì hệ số $a = -1 < 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x_0 = 0$, tương ứng $y_0 = y(0) = -4$.
Vậy điểm cực tiểu của đồ thị là $M(0; -4) \Rightarrow S = 0 + (-4) = -4$.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'(x) = x(x – 1)^2(x + 2)^3$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– $x = 0$ (nghiệm bội 1, qua đó $f'(x)$ đổi dấu).
– $x = 1$ (nghiệm bội 2, qua đó $f'(x)$ không đổi dấu).
– $x = -2$ (nghiệm bội 3, qua đó $f'(x)$ đổi dấu).
Vì $f'(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua $x = 0$ và $x = -2$ nên hàm số có đúng $2$ điểm cực trị.
Để lại phản hồi