📌 Đề bài (Câu 11 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Đúng/Sai (MSQ – Xét tính Đúng/Sai của 4 ý a, b, c, d)):
Cho hàm số $y = \frac{2x^2 + x – 3}{x – 1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Tử số phân tích được thành $(2x + 3)(x – 1)$
b) Hàm số rút gọn được thành $y = 2x + 3$ với mọi $x \neq 1$
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = 1$
d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận nào
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
- Xét ý a): Ta có tam thức bậc hai ở tử: $2x^2 + x – 3 = 2x^2 – 2x + 3x – 3 = 2x(x – 1) + 3(x – 1) = (2x + 3)(x – 1)$.
$\Rightarrow$ Mệnh đề a) ĐÚNG. - Xét ý b): Với mọi $x \neq 1$, ta có biểu thức hàm số:
$$y = \frac{2x^2 + x – 3}{x – 1} = \frac{(2x + 3)(x – 1)}{x – 1} = 2x + 3$$
$\Rightarrow$ Mệnh đề b) ĐÚNG. - Xét ý c): Ta tính giới hạn của hàm số khi $x \to 1$:
$$\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{(2x + 3)(x – 1)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5$$
Vì giới hạn khi $x \to 1$ là một số hữu hạn ($5$) chứ không phải vô cực ($”\pm \infty”$) nên đường thẳng $x = 1$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
$\Rightarrow$ Mệnh đề c) SAI. - Xét ý d):
– Không có tiệm cận đứng (như chứng minh ở ý c).
– Khi $x \to \pm \infty$, $\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} (2x + 3) = \pm \infty$ nên không có đường tiệm cận ngang.
– Hàm số trùng hoàn toàn với đường thẳng $y = 2x + 3$ (bị khuyết điểm $(1; 5)$) nên hiệu $[y – (2x + 3)] = 0$ với mọi $x \neq 1$, không tồn tại đường thẳng nào khác làm tiệm cận xiên riêng biệt theo định nghĩa tiệm cận.
– Do đó đồ thị hàm số không có bất kỳ đường tiệm cận nào.
$\Rightarrow$ Mệnh đề d) ĐÚNG.
👉 Kết luận Đúng/Sai: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng (A, B, D)
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Quy tắc tìm tiệm cận đứng của phân thức hữu tỉ: Nghiệm của mẫu số $x = x_0$ chỉ là đường tiệm cận đứng nếu $x_0$ không triệt tiêu hoàn toàn với bậc nghiệm của tử số, tức là $\lim_{x \to x_0^+} y = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} y = \pm \infty$.
- Nếu nghiệm của mẫu làm cho tử bằng $0$, hãy rút gọn nhân tử chung trước khi kết luận để tránh bẫy. Hãy tham khảo thêm bài tập dạng đồ thị hàm số rút gọn nhân tử tìm tiệm cận đứng.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm Đúng/Sai)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 4}{x – 2}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
b) $\lim_{x \to 2} y = 4$.
c) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 2$.
d) Đồ thị hàm số là một đường thẳng bỏ đi điểm $(2; 4)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– a Đúng ($x \neq 2$).
– b Đúng: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$.
– c Sai: Vì giới hạn hữu hạn nên không có TC đứng.
– d Đúng: Hàm số tương đương $y = x + 2$ ($x \neq 2$).
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
– b Đúng: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4$.
– c Sai: Vì giới hạn hữu hạn nên không có TC đứng.
– d Đúng: Hàm số tương đương $y = x + 2$ ($x \neq 2$).
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 – 1}$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt là $x = 1$ và $x = -1$.
b) Rút gọn phân thức ta được $y = \frac{x – 2}{x + 1}$ với mọi $x \neq \pm 1$.
c) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và $x = -1$.
d) Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = 1$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– a Đúng: $x^2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$.
– b Đúng: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1}$.
– c Sai: Tại $x = 1$, $\lim_{x \to 1} y = -\frac{1}{2}$ (hữu hạn) nên chỉ có duy nhất 1 TC đứng $x = -1$.
– d Đúng: $\lim_{x \to \pm \infty} y = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
– b Đúng: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1}$.
– c Sai: Tại $x = 1$, $\lim_{x \to 1} y = -\frac{1}{2}$ (hữu hạn) nên chỉ có duy nhất 1 TC đứng $x = -1$.
– d Đúng: $\lim_{x \to \pm \infty} y = 1 \Rightarrow y = 1$ là TCN.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{x^3 – 1}{x – 1}$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Tử số phân tích thành $(x – 1)(x^2 + x + 1)$.
b) $\lim_{x \to 1} y = 3$.
c) Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) Đồ thị hàm số là parabol $y = x^2 + x + 1$ bị khuyết điểm $M(1; 3)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– a Đúng: Hằng đẳng thức $x^3 – 1 = (x – 1)(x^2 + x + 1)$.
– b Đúng: $\lim_{x \to 1}(x^2 + x + 1) = 3$.
– c Sai: Giới hạn hữu hạn nên không có TC đứng.
– d Đúng: Với mọi $x \neq 1$, $y = x^2 + x + 1$.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
– b Đúng: $\lim_{x \to 1}(x^2 + x + 1) = 3$.
– c Sai: Giới hạn hữu hạn nên không có TC đứng.
– d Đúng: Với mọi $x \neq 1$, $y = x^2 + x + 1$.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 4}{x^2 – 5x + 6}$. Xét tính đúng/sai của các khẳng định sau:
a) Phân thức được rút gọn thành $y = \frac{x – 2}{x – 3}$ (với $x \neq 2, x \neq 3$).
b) $\lim_{x \to 2} y = 0$.
c) Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) Đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng duy nhất của đồ thị hàm số.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– a Đúng: $y = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3}$.
– b Đúng: $\lim_{x \to 2} y = \frac{2-2}{2-3} = 0$.
– c Sai: Tại $x = 2$ giới hạn bằng $0$ nên không là TC đứng.
– d Đúng: Tại $x = 3$, $\lim_{x \to 3} y = \infty$ nên $x = 3$ là TC đứng duy nhất.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
– b Đúng: $\lim_{x \to 2} y = \frac{2-2}{2-3} = 0$.
– c Sai: Tại $x = 2$ giới hạn bằng $0$ nên không là TC đứng.
– d Đúng: Tại $x = 3$, $\lim_{x \to 3} y = \infty$ nên $x = 3$ là TC đứng duy nhất.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Sai, d – Đúng.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{x^2 – x – 2}{(x + 1)^2}$. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:
a) Phân tích tử số ta có $x^2 – x – 2 = (x + 1)(x – 2)$.
b) Rút gọn ta được $y = \frac{x – 2}{x + 1}$ với mọi $x \neq -1$.
c) $\lim_{x \to (-1)^+} y = -\infty$.
d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng nào vì nghiệm của mẫu bị triệt tiêu với tử.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– a Đúng.
– b Đúng: $y = \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2} = \frac{x-2}{x+1}$.
– c Sai: Khi $x \to (-1)^+$, tử $\to -3 < 0$, mẫu $\to 0^+$ nên $\lim_{x \to (-1)^+} y = -\infty$ (chính xác), tuy nhiên cần cẩn thận dấu: $(-1-2)/0^+ = -\infty$, do đó mệnh đề c là Đúng.
– d Sai: Vì sau khi rút gọn mẫu vẫn còn nhân tử $(x+1)$ nên $x = -1$ vẫn là tiệm cận đứng.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.
– b Đúng: $y = \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2} = \frac{x-2}{x+1}$.
– c Sai: Khi $x \to (-1)^+$, tử $\to -3 < 0$, mẫu $\to 0^+$ nên $\lim_{x \to (-1)^+} y = -\infty$ (chính xác), tuy nhiên cần cẩn thận dấu: $(-1-2)/0^+ = -\infty$, do đó mệnh đề c là Đúng.
– d Sai: Vì sau khi rút gọn mẫu vẫn còn nhân tử $(x+1)$ nên $x = -1$ vẫn là tiệm cận đứng.
Đáp án: a – Đúng, b – Đúng, c – Đúng, d – Sai.
Để lại phản hồi