📌 Đề bài (Câu 10 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^2 – 4}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi và chỉ khi $x^2 – 4 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 2$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$.
Bước 2: Rút gọn biểu thức của hàm số
Với mọi $x \in D$, ta có:
$$y = \frac{x + 2}{x^2 – 4} = \frac{x + 2}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{1}{x – 2}$$
Bước 3: Xét giới hạn tại các điểm gián đoạn $x = -2$ và $x = 2$
- Tại điểm $x = -2$:
$$\lim_{x \to -2} y = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x – 2} = \frac{1}{-2 – 2} = -\frac{1}{4}$$
Vì giới hạn hữu hạn nên đường thẳng $x = -2$ không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. - Tại điểm $x = 2$:
$$\lim_{x \to 2^+} y = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x – 2} = +\infty$$
$$\lim_{x \to 2^-} y = \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x – 2} = -\infty$$
Do đó, đường thẳng $x = 2$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Kết luận: Đồ thị hàm số đã cho chỉ có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x = 2$.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
1. Định nghĩa tiệm cận đứng (TCĐ):
Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$$
2. Phương pháp tìm tiệm cận đứng đối với hàm phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$:
- Tìm các nghiệm của mẫu số $Q(x) = 0$. Giả sử $x_0$ là một nghiệm của $Q(x)$.
- Trường hợp 1: Nếu $x_0$ không là nghiệm của tử số $P(x)$ (tức $P(x_0) \neq 0$) thì $x = x_0$ chắc chắn là đường tiệm cận đứng. (Xem thêm: số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số).
- Trường hợp 2 (Khử nhân tử chung): Nếu $x_0$ đồng thời là nghiệm của tử số $P(x)$, ta cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức trước khi tính giới hạn $\lim_{x \to x_0} y$. Nếu sau khi triệt tiêu nhân tử $(x – x_0)$, mẫu số vẫn còn chứa thừa số $(x – x_0)$ thì $x = x_0$ vẫn là TCĐ; nếu mẫu số không còn chứa $(x – x_0)$ thì $x = x_0$ không phải là TCĐ.
- Đối với các bài toán có chứa tham số, dạng bài này rất thường gặp, bạn có thể tham khảo thêm dạng toán tìm tham số $m$ để đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x – 3}{x^2 – 9}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y = \frac{x – 3}{(x – 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$ (với $x \neq \pm 3$).
Tại $x = 3$: $\lim_{x \to 3} y = \frac{1}{6}$ (hữu hạn $\Rightarrow$ loại).
Tại $x = -3$: $\lim_{x \to -3^+} y = +\infty \Rightarrow x = -3$ là tiệm cận đứng duy nhất.
👉 Đáp án đúng: B (1 tiệm cận đứng)
Bài tập 2: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 1}{x^2 – 3x + 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Mẫu số $x^2 – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$.
Biến đổi: $y = \frac{(x – 1)(x + 1)}{(x – 1)(x – 2)} = \frac{x + 1}{x – 2}$ với $x \neq 1, x \neq 2$.
• $\lim_{x \to 1} y = \frac{1 + 1}{1 – 2} = -2$ $\Rightarrow x = 1$ không là TCĐ.
• $\lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là TCĐ.
👉 Đáp án đúng: A (1 tiệm cận đứng)
Bài tập 3: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x – 1}{(x – 1)^2 (x + 2)}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Rút gọn với $x \neq 1, x \neq -2$: $y = \frac{1}{(x – 1)(x + 2)}$.
• Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty \Rightarrow x = 1$ là TCĐ.
• Tại $x = -2$: $\lim_{x \to -2^+} y = -\infty \Rightarrow x = -2$ là TCĐ.
Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng.
👉 Đáp án đúng: C (2 tiệm cận đứng)
Bài tập 4: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 4x + 4}{x – 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y = \frac{(x – 2)^2}{x – 2} = x – 2$ với điều kiện $x \neq 2$.
Xét giới hạn: $\lim_{x \to 2} y = \lim_{x \to 2} (x – 2) = 0$ (hữu hạn).
Do đó, đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng nào.
👉 Đáp án đúng: A (0 tiệm cận đứng)
Bài tập 5: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x^2 – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Điều kiện xác định: $x \ge -3$ và $x \neq \pm 1$. Mẫu số có 2 nghiệm là $x = 1$ và $x = -1$.
• Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{(x – 1)(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8}$ (hữu hạn $\Rightarrow$ không là TCĐ).
• Tại $x = -1$: Tử số tiến về $\sqrt{2} – 2 \neq 0$, mẫu số tiến về $0$ nên $\lim_{x \to -1} y = \infty \Rightarrow x = -1$ là TCĐ.
Vậy đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng.
👉 Đáp án đúng: B (1 tiệm cận đứng)
Để lại phản hồi