📌 Đề bài (Câu 18 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x – 3}{x^2 – 9}$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi mẫu số khác 0: $x^2 – 9 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 3$.
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}$.
Bước 2: Rút gọn biểu thức và xét giới hạn tại các điểm gián đoạn
Ta có: $$y = \frac{x – 3}{x^2 – 9} = \frac{x – 3}{(x – 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3} \quad (\text{với } x \neq 3)$$
- Tại $x = 3$: $\lim_{x \to 3} y = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{6} \neq \pm\infty$. Do đó, đường thẳng $x = 3$ không phải là đường tiệm cận đứng.
- Tại $x = -3$: $\lim_{x \to (-3)^+} y = \lim_{x \to (-3)^+} \frac{1}{x + 3} = +\infty$ và $\lim_{x \to (-3)^-} y = \lim_{x \to (-3)^-} \frac{1}{x + 3} = -\infty$. Do đó, đường thẳng $x = -3$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có đúng 1 đường tiệm cận đứng.
👉 Đáp án (kết quả điền số): 1
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
1. Định nghĩa tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$$
2. Quy tắc tìm nhanh tiệm cận đứng của hàm phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$:
- Giải phương trình mẫu số $Q(x) = 0$ để tìm các nghiệm $x_0$.
- Rút gọn nhân tử chung giữa tử và mẫu (khử dạng $\frac{0}{0}$).
- Nếu $x_0$ vẫn là nghiệm của mẫu sau khi đã rút gọn tối giản thì $x = x_0$ là tiệm cận đứng.
- Nếu nghiệm $x_0$ bị triệt tiêu hoàn toàn bởi nhân tử ở tử số (bậc của $(x – x_0)$ ở tử $\ge$ bậc ở mẫu), thì giới hạn tại $x_0$ là hữu hạn, đồ thị không có tiệm cận đứng tại đó.
Bạn có thể tham khảo thêm các dạng bài tập tương tự như tìm số đường tiệm cận đứng của phân thức bậc 2 hoặc bài toán nâng cao tìm tham số m để hàm số có 2 đường tiệm cận đứng.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^2 – 4}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có: $y = \frac{x + 2}{(x – 2)(x + 2)} = \frac{1}{x – 2}$ (với $x \neq -2$). Nghiệm mẫu $x = -2$ bị triệt tiêu với tử, chỉ còn lại $x = 2$ làm mẫu bằng 0. Vậy đồ thị có đúng 1 tiệm cận đứng là $x = 2$.
👉 Đáp số: 1
Bài tập 2: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x – 1}{x^2 – 3x + 2}$ là bao nhiêu?
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Phân tích mẫu: $x^2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)$. Khi đó $y = \frac{x – 1}{(x – 1)(x – 2)} = \frac{1}{x – 2}$ (với $x \neq 1$). Nghiệm $x = 1$ bị triệt tiêu, chỉ có $x = 2$ là tiệm cận đứng.
👉 Đáp số: 1
Bài tập 3: Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{x^2 – 4}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? (Xem thêm dạng toán liên quan tổng số đường tiệm cận).
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Mẫu số $x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Cả hai giá trị $x = 2$ và $x = -2$ đều không làm tử số triệt tiêu ($x + 1 \neq 0$). Do đó đồ thị có 2 tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = -2$.
👉 Đáp số: 2
Bài tập 4: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 1}{(x – 1)^2}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Rút gọn biểu thức: $y = \frac{(x – 1)(x + 1)}{(x – 1)^2} = \frac{x + 1}{x – 1}$ (với $x \neq 1$). Tại $x = 1$, mẫu vẫn bằng 0 và tử khác 0 nên $\lim_{x \to 1} y = \infty$. Vậy đồ thị có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x = 1$.
👉 Đáp số: 1
Bài tập 5: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – 5x + 6}{x^2 – 4x + 4}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Ta có $y = \frac{(x – 2)(x – 3)}{(x – 2)^2} = \frac{x – 3}{x – 2}$ (với $x \neq 2$). Mẫu số vẫn còn nghiệm $x = 2$ sau khi rút gọn, suy ra đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng. Do đó có 1 tiệm cận đứng.
👉 Đáp số: 1
Để lại phản hồi