📌 Đề bài (Câu 17 – Vận dụng (VD) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 – 4}}$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định (TXĐ)
Hàm số xác định khi và chỉ khi $x^2 – 4 > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Do đó TXĐ: $D = (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
Bước 2: Tìm tiệm cận ngang (TCN)
Ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$:
- Khi $x \to +\infty$ ($x > 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 – 4} = x\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}$):
$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 – 4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 – \frac{4}{x^2}}} = \frac{2}{1} = 2.$$
Suy ra đường thẳng $y = 2$ là một đường tiệm cận ngang. - Khi $x \to -\infty$ ($x < 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 4} = -x\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}$): $$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 - 4}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = \frac{2}{-1} = -2.$$ Suy ra đường thẳng $y = -2$ là một đường tiệm cận ngang nữa.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là $y = 2$ và $y = -2$.
Bước 3: Tìm tiệm cận đứng (TCĐ)
Phương trình mẫu số: $\sqrt{x^2 – 4} = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.
- Xét tại $x = 2$ (chỉ xét giới hạn bên phải $x \to 2^+$ vì $x \in D$):
$$\lim_{x \to 2^+} (2x + 1) = 5 > 0 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 2^+} \sqrt{x^2 – 4} = 0^+ \implies \lim_{x \to 2^+} y = +\infty.$$
Suy ra đường thẳng $x = 2$ là một tiệm cận đứng. - Xét tại $x = -2$ (chỉ xét giới hạn bên trái $x \to -2^-$ vì $x \in D$):
$$\lim_{x \to -2^-} (2x + 1) = -3 < 0 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to -2^-} \sqrt{x^2 - 4} = 0^+ \implies \lim_{x \to -2^-} y = -\infty.$$ Suy ra đường thẳng $x = -2$ là một tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = -2$.
Bước 4: Kết luận
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là: $2 + 2 = 4$.
👉 Đáp án (kết quả điền số): 4
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Đối với dạng bài số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức $y = \frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$ hoặc $y = \frac{\sqrt{P(x)}}{Q(x)}$, cần lưu ý các bước:
- Tập xác định: Bắt buộc tìm TXĐ để biết miền giới hạn có chứa $+\infty, -\infty$ hay không và các điểm biên hữu hạn nào có thể tiến tới.
- Tiệm cận ngang: Khi rút căn bậc hai $\sqrt{x^2} = |x|$:
- Nếu $x \to +\infty \implies |x| = x$.
- Nếu $x \to -\infty \implies |x| = -x$ (dấu âm làm đổi dấu giới hạn).
- Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu làm tử khác $0$ thường tạo ra tiệm cận đứng. Chú ý kiểm tra giới hạn 1 phía (trái hoặc phải) phù hợp với TXĐ. Bạn có thể tham khảo thêm cách tìm tiệm cận đứng của phân thức hữu tỉ để tránh nhầm lẫn nghiệm triệt tiêu.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{3x – 2}{\sqrt{x^2 – 9}}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
– TXĐ: $D = (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
– TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 3 \Rightarrow y = 3$; $\lim_{x \to -\infty} y = -3 \Rightarrow y = -3$ (2 TCN).
– TCĐ: Mẫu triệt tiêu tại $x = 3$ (tử $= 7 \ne 0$) và $x = -3$ (tử $= -11 \ne 0$) $\Rightarrow x = 3, x = -3$ là 2 TCĐ.
Tổng số tiệm cận = $2 + 2 = 4$.
Đáp án: 4
Bài tập 2: Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x – 1}{\sqrt{x^2 – 1}}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
– TXĐ: $D = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
– TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 1 \Rightarrow y = 1$; $\lim_{x \to -\infty} y = -1 \Rightarrow y = -1$ (2 TCN).
– TCĐ: Tại $x \to 1^+$, $y = \frac{x – 1}{\sqrt{x – 1}\sqrt{x + 1}} = \frac{\sqrt{x – 1}}{\sqrt{x + 1}} \to 0$ nên $x = 1$ không phải là TCĐ.
Tại $x \to -1^-$, tử $\to -2$, mẫu $\to 0^+ \Rightarrow y \to -\infty \Rightarrow x = -1$ là 1 TCĐ.
Tổng số tiệm cận = $2 + 1 = 3$.
Đáp án: 3
Bài tập 3: Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{4 – x^2}}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
– TXĐ: $D = (-2; 2)$.
– TCN: Do TXĐ là khoảng bị chặn $(-2; 2)$, không có $x \to \pm\infty$ nên hàm số không có tiệm cận ngang (0 TCN).
– TCĐ: $\lim_{x \to 2^-} y = +\infty \Rightarrow x = 2$; $\lim_{x \to -2^+} y = -\infty \Rightarrow x = -2$ (2 TCĐ).
Tổng số tiệm cận = $0 + 2 = 2$. Tham khảo thêm dạng tổng quát tại bài toán số đường tiệm cận đứng và ngang của phân thức.
Đáp án: 2
Bài tập 4: Tính tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{x – 2}$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
– TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$; $\lim_{x \to -\infty} y = -2 \Rightarrow y = -2$ (2 TCN).
– TCĐ: Mẫu triệt tiêu tại $x = 2$, tử $\sqrt{4(2)^2 + 1} = \sqrt{17} \ne 0 \Rightarrow x = 2$ là 1 TCĐ.
Tổng số tiệm cận = $2 + 1 = 3$.
Đáp án: 3
Bài tập 5: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x – 3}{\sqrt{x^2 + 1}}$ có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
– TXĐ: $D = \mathbb{R}$. Mẫu $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$ nên không có TCĐ.
– TCN: $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x – 3}{\sqrt{x^2 + 1}} = 2 \Rightarrow y = 2$.
– $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x – 3}{\sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(2 – \frac{3}{x})}{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = -2 \Rightarrow y = -2$.
Số đường tiệm cận ngang là 2.
Đáp án: 2
Để lại phản hồi