📌 Đề bài (Câu 9 – Vận dụng (VD) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x – 2}$ là:
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} x^2 – 1 \ge 0 \\ x – 2 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \\ x \ne 2 \end{cases}$$
Do đó, tập xác định là $D = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \setminus \{2\}$.
Bước 2: Tìm đường tiệm cận đứng (TCĐ)
Ta xét giới hạn của hàm số tại lân cận điểm $x = 2$ (thuộc tập xác định):
$$\lim_{x \to 2^+} \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x – 2} = \frac{\sqrt{2^2 – 1}}{0^+} = +\infty$$
$$\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x – 2} = \frac{\sqrt{3}}{0^-} = -\infty$$
Vậy đường thẳng $x = 2$ là $1$ đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bước 3: Tìm đường tiệm cận ngang (TCN)
Xét giới hạn khi $x \to +\infty$ ($x > 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 – 1} = x\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}$):
$$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 – \frac{2}{x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{1 – \frac{2}{x}} = 1$$
Suy ra đường thẳng $y = 1$ là một đường tiệm cận ngang.
Xét giới hạn khi $x \to -\infty$ ($x < 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 1} = -x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}$):
$$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{x\left(1 – \frac{2}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{1 – \frac{1}{x^2}}}{1 – \frac{2}{x}} = -1$$
Suy ra đường thẳng $y = -1$ là một đường tiệm cận ngang thứ hai.
Bước 4: Kết luận
Đồ thị hàm số có $1$ đường tiệm cận đứng ($x = 2$) và $2$ đường tiệm cận ngang ($y = 1, y = -1$).
Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: $1 + 2 = 3$ đường.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_0$ là TCĐ nếu ít nhất một trong các giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} y = \pm\infty$ hoặc $\lim_{x \to x_0^-} y = \pm\infty$ thỏa mãn (chú ý $x_0$ phải là điểm gián đoạn và thuộc lân cận của TXĐ).
- Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_0$ là TCN nếu $\lim_{x \to +\infty} y = y_0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} y = y_0$. Khi rút căn bậc hai $\sqrt{x^2} = |x|$, cần đặc biệt lưu ý:
- Khi $x \to +\infty$, ta có $\sqrt{x^2} = x$.
- Khi $x \to -\infty$, ta có $\sqrt{x^2} = -x$.
- Để luyện tập toàn diện các dạng bài, tham khảo thêm dạng toán Số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2 + 4}}{x – 1}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
– TCĐ: $x = 1$ (do $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$).
– TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 1 \Rightarrow y = 1$; $\lim_{x \to -\infty} y = -1 \Rightarrow y = -1$.
Tổng cộng có 3 đường tiệm cận.
Đáp án: C
Bài tập 2: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x – 1}{\sqrt{x^2 – 4}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
TXĐ: $D = (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
– TCĐ: $x = 2$ và $x = -2$ (vì mẫu triệt tiêu, tử khác 0).
– TCN: $\lim_{x \to +\infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$; $\lim_{x \to -\infty} y = -2 \Rightarrow y = -2$.
Tổng cộng có 2 TCĐ + 2 TCN = 4 đường tiệm cận.
Đáp án: C
Bài tập 3: Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} – 2}{x^2 – 1}$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
TXĐ: $D = [-3; +\infty) \setminus \{-1; 1\}$.
– Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x – 1}{(x – 1)(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{1}{8} \ne \pm\infty \Rightarrow x = 1$ không là TCĐ.
– Tại $x = -1$: $\lim_{x \to -1^+} y = \pm\infty \Rightarrow x = -1$ là 1 TCĐ.
Vậy có đúng 1 đường tiệm cận đứng.
Đáp án: B
Bài tập 4: Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4 – x^2}}{x^2 – 3x + 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
TXĐ: Điều kiện $4 – x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-2; 2]$, và mẫu $(x – 1)(x – 2) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1, x \ne 2$.
Do đó $D = [-2; 2) \setminus \{1\}$.
– Vì $D$ là tập bị chặn nên đồ thị không có TCN.
– Xét TCĐ: Tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \infty \Rightarrow x = 1$ là TCĐ.
– Tại $x = 2$: $y = \frac{\sqrt{2 – x}\sqrt{2 + x}}{-(2 – x)(x – 1)} = \frac{\sqrt{x + 2}}{-\sqrt{2 – x}(x – 1)}$. Khi $x \to 2^-$, $y \to -\infty \Rightarrow x = 2$ là TCĐ.
Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận đứng và không có TCN, tổng cộng có 2 đường tiệm cận.
Đáp án: B
Bài tập 5: Tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x – 1}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
– TCĐ: $x = 1$ do $\lim_{x \to 1^+} y = +\infty$.
– TCN khi $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x(1 – 1/x)} = 2 \Rightarrow y = 2$.
– TCN khi $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} \frac{x – x\sqrt{1 + 1/x^2}}{x(1 – 1/x)} = 0 \Rightarrow y = 0$.
Tổng cộng có 1 TCĐ + 2 TCN = 3 đường tiệm cận.
Đáp án: B
Để lại phản hồi