📌 Đề bài (Câu 7 – Vận dụng (VD) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x – 1}{x^2 – 2mx + 4}$ có đúng 2 đường tiệm cận đứng.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Xét hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{x – 1}{x^2 – 2mx + 4}$.
Đặt đa thức ở mẫu là $g(x) = x^2 – 2mx + 4$.
Đồ thị hàm số đã cho có đúng 2 đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của tử số ($x = 1$).
Điều này tương đương với hệ điều kiện sau:
$$\begin{cases} \Delta’ > 0 \\ g(1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (-m)^2 – 1 \cdot 4 > 0 \\ 1^2 – 2m(1) + 4 \neq 0 \end{cases}$$
Giải từng bất phương trình và điều kiện:
- $\Delta’ = m^2 – 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m > 2 \\ m < -2 \end{matrix} \right.$
- $g(1) = 5 – 2m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{5}{2}$
Kết hợp hai điều kiện trên, ta được: $\left[ \begin{matrix} m > 2 \\ m < -2 \end{matrix} \right.$ và $m \neq \frac{5}{2}$.
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Cho hàm số phân thức hữu tỉ $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức:
- Đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu $x_0$ là nghiệm của phương trình mẫu số $Q(x) = 0$ và không làm triệt tiêu tử số (nghĩa là bậc bội của nghiệm ở mẫu lớn hơn ở tử).
- Để đồ thị hàm số $y = \frac{ax + b}{cx^2 + dx + e}$ có đúng 2 đường tiệm cận đứng thì mẫu số $g(x) = cx^2 + dx + e = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt và không có nghiệm nào trùng với nghiệm của tử số: $x \neq -\frac{b}{a}$.
- Bạn cũng có thể xem thêm dạng bài xác định số đường tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số để củng cố toàn diện dạng toán này.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{x^2 – 4mx + 4}$ có đúng hai đường tiệm cận đứng.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Xét $g(x) = x^2 – 4mx + 4$. Điều kiện để có 2 TCĐ là:
1) $\Delta’ = 4m^2 – 4 > 0 \Leftrightarrow m^2 > 1 \Leftrightarrow m > 1$ hoặc $m < -1$.
2) $g(-2) = (-2)^2 – 4m(-2) + 4 = 8 + 8m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq -1$.
Kết hợp ta được $m > 1$ hoặc $m < -1$.
Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [-10; 10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x – 3}{x^2 – 2mx + m + 6}$ có đúng 2 đường tiệm cận đứng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Đặt $g(x) = x^2 – 2mx + m + 6$.
1) $\Delta’ = m^2 – m – 6 > 0 \Leftrightarrow m > 3$ hoặc $m < -2$.
2) $g(3) = 9 – 6m + m + 6 = 15 – 5m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 3$.
Vì $m \in [-10; 10]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3\}$ (8 giá trị) hoặc $m \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ (7 giá trị). Có tổng cộng $8 + 7 = 15$… Khoan: $m < -2 \implies m \in [-10, -3]$ có 8 giá trị; $m > 3 \implies m \in [4, 10]$ có 7 giá trị; nhưng xét $g(3) \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 3$ đã nằm ngoài khoảng. Tuy nhiên nếu $m=3$ thì $\Delta’ = 0$. Tổng cộng có $8 + 7 = 15$ giá trị nguyên (phương án A).
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2x – 4}{x^2 + 2mx + m^2 – 1}$ có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Mẫu số $g(x) = (x + m)^2 – 1 = (x + m – 1)(x + m + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 1 – m$ hoặc $x = -1 – m$. Hai nghiệm này luôn phân biệt với mọi $m$.
Để đồ thị chỉ có duy nhất 1 TCĐ thì một trong 2 nghiệm phải trùng với nghiệm tử $x = 2$:
$\left[ \begin{matrix} 1 – m = 2 \\ -1 – m = 2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m = -1 \\ m = -3 \end{matrix} \right.$.
Bài tập 4: Tìm số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x – 1}{x^2 – 4}$ khi áp dụng phương pháp tương tự.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
– Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x – 1}{x^2 – 4} = 0 \Rightarrow y = 0$ là 1 đường TCN.
– Tiệm cận đứng: Mẫu $x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$, cả hai nghiệm đều không là nghiệm tử ($x = 1$), do đó có 2 TCĐ là $x = 2, x = -2$.
Tham khảo thêm bài viết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để hiểu sâu hơn.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 4} – 2}{x^2 + 2x – m}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in (0; 10)$ để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Điều kiện xác định của tử: $x \ge -4$. Tử số triệt tiêu khi $x = 0$.
Đặt $g(x) = x^2 + 2x – m$. Để có 2 TCĐ thì $g(x) = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2 > -4$ và khác 0.
– $\Delta’ = 1 + m > 0 \Leftrightarrow m > -1$.
– $g(0) = -m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 0$.
– $x_1, x_2 > -4 \Leftrightarrow \begin{cases} (x_1+4)+(x_2+4) > 0 \\ (x_1+4)(x_2+4) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 + 8 > 0 \text{ (luôn đúng)} \\ -m + 4(-2) + 16 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m < 8$.
Do $m \in (0; 10)$ và nguyên nên $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ (7 giá trị). Do đó đáp án là C (7 giá trị).
Để lại phản hồi