📌 Đề bài (Câu 6 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm 4 lựa chọn (MCQ – 1 đáp án đúng)):
Tìm giá trị của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^3 – 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng 3.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tìm tập xác định và đạo hàm của hàm số
Hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x + m$ liên tục và xác định trên đoạn $[0; 2]$.
Đạo hàm: $y’ = f'(x) = 3x^2 – 3$.
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn thuộc đoạn $[0; 2]$
Cho $y’ = 0 \Leftrightarrow 3x^2 – 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x &= 1 \in [0; 2] \\ x &= -1 \notin [0; 2] \end{aligned}\right.$.
Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt
- Tại $x = 0$: $y(0) = 0^3 – 3(0) + m = m$.
- Tại $x = 1$: $y(1) = 1^3 – 3(1) + m = m – 2$.
- Tại $x = 2$: $y(2) = 2^3 – 3(2) + m = m + 2$.
Bước 4: So sánh và tìm giá trị tham số $m$
So sánh ba giá trị $m – 2 < m < m + 2$, ta có:
$$\min_{[0; 2]} y = y(1) = m – 2$$
Theo giả thiết đề bài, giá trị nhỏ nhất bằng 3 nên:
$$m – 2 = 3 \Leftrightarrow m = 5$$
👉 Chọn đáp án: A
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
Để tìm giá trị của tham số $m$ thỏa mãn điều kiện về giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$, ta thực hiện theo các bước sau:
- Tính đạo hàm $y’ = f'(x)$.
- Tìm nghiệm $x_i \in [a; b]$ của phương trình $f'(x) = 0$.
- Tính các giá trị $f(a), f(b), f(x_i)$ (các giá trị này thường biểu diễn theo $m$).
- Xác định $\min_{[a; b]} y$ hoặc $\max_{[a; b]} y$ theo $m$ bằng cách so sánh các giá trị đã tính.
- Cho giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) bằng số đề bài yêu cầu để giải phương trình tìm $m$.
Xem thêm dạng bài tương tự: tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn hoặc giá trị lớn nhất của hàm số trùng phương.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trắc nghiệm 4 đáp án)
Bài tập 1: Tìm giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = -x^3 + 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng 10.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Giải: $y’ = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0; 2]$ (loại $x = -1$).
Tính $y(0) = m$, $y(1) = m + 2$, $y(2) = m – 2$. Do đó $\max_{[0; 2]} y = m + 2$.
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m + 2 = 10 \Leftrightarrow m = 8$. Chọn A.
Bài tập 2: Cho hàm số $y = x^4 – 2x^2 + m$. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0; 2]$ bằng $-5$. Giá trị của $m$ là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Giải: $y’ = 4x^3 – 4x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0; x = 1 \in [0; 2]$.
Các giá trị: $y(0) = m$, $y(1) = m – 1$, $y(2) = m + 8$.
Giá trị nhỏ nhất là $\min_{[0; 2]} y = m – 1 = -5 \Leftrightarrow m = -4$. Chọn B.
Bài tập 3: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + m}{x + 1}$ trên đoạn $[1; 2]$ bằng $2$. Khi đó giá trị của $m$ bằng:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Giải: Ta có $y’ = \frac{1 – m}{(x + 1)^2}$.
– TH1: $1 – m > 0 \Leftrightarrow m < 1$: Hàm số đồng biến trên $[1; 2] \Rightarrow \max_{[1; 2]} y = y(2) = \frac{2 + m}{3} = 2 \Leftrightarrow m = 4$ (loại vì $m < 1$).
– TH2: $1 – m < 0 \Leftrightarrow m > 1$: Hàm số nghịch biến trên $[1; 2] \Rightarrow \max_{[1; 2]} y = y(1) = \frac{1 + m}{2} = 2 \Leftrightarrow m = 3$ (thỏa mãn $m > 1$). Chọn A.
Bài tập 4: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + m$. Tìm $m$ để $\min_{[-1; 1]} y = -5$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Giải: $y’ = 3x^2 – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ (loại vì không thuộc $[-1; 1]$).
Tính $y(-1) = m – 4$, $y(0) = m$, $y(1) = m – 2$.
Do đó $\min_{[-1; 1]} y = y(-1) = m – 4 = -5 \Leftrightarrow m = -1$. Chọn A.
Bài tập 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{2x + m}{x – 1}$ trên đoạn $[2; 4]$ bằng 3.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Giải: Ta có $y’ = \frac{-2 – m}{(x – 1)^2}$.
– TH1: $-2 – m > 0 \Leftrightarrow m < -2$: Hàm số đồng biến trên $[2; 4] \Rightarrow \min_{[2; 4]} y = y(2) = 4 + m = 3 \Leftrightarrow m = -1$ (loại vì không thỏa $m < -2$).
– TH2: $-2 – m < 0 \Leftrightarrow m > -2$: Hàm số nghịch biến trên $[2; 4] \Rightarrow \min_{[2; 4]} y = y(4) = \frac{8 + m}{3} = 3 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn $m > -2$). Chọn A.
Để lại phản hồi