Một người nông dân muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $200\text{ m}^2$ giáp bờ sông (không cần rào cạnh giáp sông). Chiều dài hàng rào ngắn nhất cần dùng là:

Bước 1: Thiết lập mô hình toán học cho bài toán thực tế

Gọi $x$ (m) là độ dài mỗi cạnh vuông góc với bờ sông ($x > 0$).

Gọi $y$ (m) là độ dài cạnh song song với bờ sông ($y > 0$).

Do diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là $200\text{ m}^2$, ta có: $$S = x \cdot y = 200 \implies y = \frac{200}{x}$$

Bước 2: Xây dựng hàm mục tiêu

Vì mảnh vườn giáp bờ sông nên ta chỉ cần rào 3 cạnh (gồm 2 cạnh vuông góc bờ sông và 1 cạnh song song với bờ sông). Tổng chiều dài hàng rào cần dùng là:

$$L(x) = 2x + y = 2x + \frac{200}{x} \quad (x > 0)$$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)

Vì $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $2x$ và $\frac{200}{x}$:

$$L(x) = 2x + \frac{200}{x} \ge 2\sqrt{2x \cdot \frac{200}{x}} = 2\sqrt{400} = 2 \cdot 20 = 40\text{ m}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $$2x = \frac{200}{x} \iff 2x^2 = 200 \iff x^2 = 100 \iff x = 10\text{ (thỏa mãn } x > 0)$$

Khi đó chiều dài cạnh song song bờ sông là $y = \frac{200}{10} = 20\text{ m}$.

Cách 2: Khảo sát hàm số bằng đạo hàm (Phương pháp chuẩn 12)

Xét hàm số $L(x) = 2x + \frac{200}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ tương tự bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

$$L'(x) = 2 – \frac{200}{x^2} = \frac{2x^2 – 200}{x^2}$$

$$L'(x) = 0 \iff 2x^2 – 200 = 0 \iff x = 10 \quad (\text{do } x > 0)$$

Bảng biến thiên:

• Với $x \in (0; 10)$: $L'(x) < 0 \implies$ hàm số nghịch biến.
• Với $x \in (10; +\infty)$: $L'(x) > 0 \implies$ hàm số đồng biến.

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = 10$ và $\min_{(0; +\infty)} L(x) = L(10) = 40\text{ m}$.

👉 Chọn đáp án: A