Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để hàm số \(y = \left( {m – {x^3}} \right)\sqrt {1 – {x^3}} \) đồng biến trên \(\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\).

A. \(m < 1\).

 B. \(m \le  – 2\).

 C. \(m > 1\).

 D. \(m \ge  – 2\).

Lời giải:

+ Tập xác định: \(D = \left( { – \infty ;{\rm{ 1}}} \right]\).

+ \(y’ =  – 3{x^2}\sqrt {1 – {x^3}}  – \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {1 – {x^3}} }}.\left( {m – {x^3}} \right) = \frac{{3{x^2}}}{{2\sqrt {1 – {x^3}} }}\left( {3{x^3} – m – 2} \right)\).

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt[3]{{\frac{{m + 2}}{3}}}\end{array} \right.\).

* Trường hợp 1: \(m =  – 2\), ta có bảng xét dấu:

Dựa vào BXD, ta có \(y’ > 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in \left( {0;{\rm{ 1}}} \right) \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( {0;{\rm{ 1}}} \right)\).

Suy ra \(m =  – 2\) thỏa mãn.

* Trường hợp 2: \(m \ne  – 2\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;{\rm{ 1}}} \right)\) thì \(\sqrt[3]{{\frac{{m + 2}}{3}}} < 0 \Leftrightarrow m <  – 2\).

Vậy \(m \le  – 2\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\).