Câu hỏi:
Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {z + 2 + 2i} \right| = 1\) và \(\left| {w + 2 – i} \right| = \left| {w – 3i} \right|\). Khi \(\left| {z – w} \right| + \left| {w – 3 + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(\left| {z + 2w} \right|\).
A. \(2\sqrt {13} \).
B. \(7\).
C. \(2\sqrt 5 \).
D. \(\sqrt {61} \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử điểm biểu diễn của \(z,w\) lần lượt là \(M,F\).
Do \(\left| {z + 2 + 2i} \right| = 1\) nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( { – 2; – 2} \right)\), bán kính \(R = 1\).
Gọi \(A\left( {- 2;1} \right),B\left( {0;3} \right)\). Do \(\left| {w + 2 – i} \right| = \left| {w – 3i} \right|\) nên \(F\) nằm trên đường thẳng \(d:x + y – 1 = 0\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\).
Gọi \(C\left( {3; – 3} \right)\). Khi đó \(\left| {z – w} \right| + \left| {w – 3 + 3i} \right| = MF + FC\). Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của tổng hai đoạn thẳng này.
Giả sử \(\left( {C’} \right)\) là đường tròn đối xứng với \(\left( C \right)\) qua đường thẳng \(d\). Suy ra \(\left( {C’} \right)\) có tâm \(I’\left( {3;3} \right)\), bán kính \(R’ = R = 1\). Khi đó ứng với mỗi \(M \in \left( C \right)\) luôn tồn tại \(M’ \in \left( {C’} \right)\)sao cho \(MF = M’F\).
Suy ra \(\left| {z – w} \right| + \left| {w – 3 + 3i} \right| = MF + FC = M’F + FC\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(I’,M’,F,C\) thẳng hàng.
Khi đó \(F\) là giao điểm của \(d\) và \(I’C\) với \(I’C:x = 3\). Suy ra \(F\left( {3; – 2} \right)\).
Tương ứng ta có \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(IF\) và đường tròn \(\left( C \right)\), \(M\) nằm giữa \(I,F\).
Suy ra \(M\left( { – 1; – 2} \right)\).
Do đó \(\left| {z – w} \right| + \left| {w – 3 + 3i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(z = – 1 – 2i,w = 3 – 2i\).
Suy ra \(z + 2w = 5 – 6i\)\( \Rightarrow \left| {z + 2w} \right| = \sqrt {61} \).
=======
Ngọc viết
Sao điểm A(1;-2) mà trên hình lại vẽ điểm A(-2;1) vậy ạ
admin viết
TÔI ĐÃ SỬA LẠI, BẠN ĐỌC LẠI. THANK YOU.