Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho 2 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\). Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và cắt \({d_1},{d_2}\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho 2 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}\) và \({d_2}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\). Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và cắt \({d_1},{d_2}\) có phương trình là

A. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1\,\,\,}\\{y = 1\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\).
B. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1\, + t\,\,}\\{y = 1 + t\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = – 2}\end{array}} \right.\).
C. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 + t\,\,\,}\\{y = 1\, + t\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).
D. \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1\,\,\,}\\{y = 1 + t}\\{z = – 2\,}\end{array}} \right.\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.
Gọi \(A\),\(B\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) và \({d_1},{d_2}\).
Ta có thể gọi \(A\left( { – 1 + 2a;1 – a;2 + a} \right),\,B\left( { – 2 + b;b; – 1 – b} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { – 2a + b – 1;a + b – 1; – a – b – 3} \right)\).
Vì \(\Delta \bot \left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng phương với \({\vec n_{Oxy}} = \left( {0;0;1} \right)\).
Do đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2a + b – 1 = 0}\\{a + b – 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).
Khi đó \(A\left( { – 1;1;2} \right)\) và \(B\left( { – 1;1; – 2} \right)\).
Vậy \(\Delta \) đi qua \(A\left( { – 1;1;2} \right)\) có VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1\,\,\,}\\{y = 1\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) là phương trình tham số \(\Delta \).