Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxz\), cho ba điểm \(A(a;0;0),\)\(B(0;b;0),\)\(C(0;0;c)\) với \(a,b,c\) là các số thực khác 0, mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(M(2;4;5)\). Biết rằng mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 25\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi \(8\pi \). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxz\), cho ba điểm \(A(a;0;0),\)\(B(0;b;0),\)\(C(0;0;c)\) với \(a,b,c\) là các số thực khác 0, mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(M(2;4;5)\). Biết rằng mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 25\) cắt mặt phẳng \((ABC)\) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi \(8\pi \). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng
A.\(40\).
B. \(4\).
C. \(20\).
D. \(30\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).
Vì mặt phẳng \((ABC)\) đi qua điểm \(M(2;4;5)\) nên có \(\frac{2}{a} + \frac{4}{b} + \frac{5}{c} = 1\) và có VTPT \(\vec n = \left( {\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R = 5\).
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = (1;2;2)\) nên \(IM = 3\) (1)
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \((ABC)\).
Khi đó giao tuyến của \((ABC)\) với mặt cầu \((S)\) là đường tròn tâm \(H\) có chu vi bằng \(8\pi \) suy ra bán kính \(r = 4\).
Ta có: \(IH = \sqrt {{R^2} – {r^2}} = \sqrt {{5^2} – {4^2}} = 3\) (2). Vì \(IH \bot (ABC)\)và \(M \in (ABC)\) nên \(IM \ge IH\) (3)
Từ (1), (2) ta có \(IM = IH = 3\). Do đó (3) phải xảy ra đẳng thức hay \(M \equiv H\).
Khi đó \(IM \bot (ABC)\) nên \(\overrightarrow {IM} \) là vectơ pháp tuyến của \((ABC)\).
Suy ra \(\vec n = k\overrightarrow {IM} \) \((k \ne 0)\) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = k\\\frac{1}{b} = 2k\\\frac{1}{c} = 2k\end{array} \right.\).
Vì \(\frac{2}{a} + \frac{4}{b} + \frac{5}{c} = 1\) nên \(2k + 8k + 10k = 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{{20}}\). Từ đó suy ra \(a = 20,{\rm{ }}b = 10,{\rm{ }}c = 10\).
Vậy \(a + b + c = 40\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)