Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right)\), \(B\left( {m;0;0} \right)\), \(C\left( {0;n;0} \right)\), \(D\left( {1;1;1} \right)\)với \(m > 0,\,\,n > 0\)và \(m + n = 1\). Biết rằng khi \(m,\,\,n\) thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và đi qua \(D\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đó?

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), xét các điểm \(A\left( {0;0;1} \right)\), \(B\left( {m;0;0} \right)\), \(C\left( {0;n;0} \right)\), \(D\left( {1;1;1} \right)\)với \(m > 0,\,\,n > 0\)và \(m + n = 1\). Biết rằng khi \(m,\,\,n\) thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và đi qua \(D\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu đó?
A.\(R = 1\).
B. \(R = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
C. \(R = \frac{3}{2}\).
D. \(R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu. Khi đó, bán kính\(R = ID = {\rm{d}}\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right)\).
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{1} = 1\).
Khi đó, \({\rm{d}}\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{a}{m} + \frac{b}{n} + \frac{c}{1} – 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{m}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{n}} \right)}^2} + 1} }}\) và \(ID = \sqrt {{{\left( {1 – a} \right)}^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2} + {{\left( {1 – c} \right)}^2}} \).
Từ \(m + n = 1\) suy ra \({\left( {\frac{1}{m}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{n}} \right)^2} + 1 = {\left( {\frac{1}{m} + \frac{1}{n}} \right)^2} – \frac{2}{{mn}} + 1 = {\left( {\frac{1}{{mn}}} \right)^2} – \frac{2}{{mn}} + 1 = {\left( {\frac{1}{{mn}} – 1} \right)^2}\).
Như thế \({\rm{d}}\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {an + bm + cmn – mn} \right|}}{{\left| {1 – mn} \right|}} = \frac{{\left| {an + bm + cmn – mn} \right|}}{{1 – mn}}\) (vì \(mn \le {\left( {\frac{{m + n}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\)).
Nếu \(an + bm + cmn – mn \ge 0\) thì
\(\begin{array}{l}{\rm{d}}\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{an + bm + cmn – mn}}{{1 – mn}} = R\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow a\left( {1 – m} \right) + bm + cm\left( {1 – m} \right) – m\left( {1 – m} \right) = R\left[ {1 – m\left( {1 – m} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2}\left( {1 – c – R} \right) + m\left( {b + c – a – 1 + R} \right) + a – R = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Vì đẳng thức \(\left( 1 \right)\) đúng với mọi \(m \in \left( {0;1} \right)\) nên
\(\left\{ \begin{array}{l}1 – c – R = 0\\b + c – a – 1 + R = 0\\a – R = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = R\\b = R\\c = 1 – R\end{array} \right.\).
Mặt khác
\(\begin{array}{l}ID = R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 – a} \right)}^2} + {{\left( {1 – b} \right)}^2} + {{\left( {1 – c} \right)}^2}} = R\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sqrt {2{{\left( {1 – R} \right)}^2} + {R^2}} = R\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\left( {1 – R} \right)^2} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow R = 1\end{array}\).
Tương tự, nếu \(an + bm + cmn – mn < 0\)thì ta tìm được \(R = - 1\) (không thỏa mãn \(R > 0\))
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là\(R = 1\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)