DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 9\), điểm \(A(0;0;2)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và cắt mặt cầu \((S)\) theo thiết diện là hình tròn \((C)\) có diện tích nhỏ nhất là:
A.\(x + 2y + 3z – 6 = 0\).
B. \(x + 2y + z – 2 = 0\).
C. \(3x + 2y + 2z – 4 = 0\).
D. \(x – 2y + 3z – 6 = 0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1; – 1; – 1)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\)qua: \(A(2;1;3)\) có một VTCP \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = (1; – 1; – 1)\) có dạng:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 – t\\z = 3 – t\end{array} \right.\).
Gọi \(I\) là hình chiếu của \(C\)lên \(AB\)\( \Rightarrow I \in AB \Rightarrow I(2 + t;1 – t;3 – t)\)
\(\overrightarrow {CI} = (2 + t;3 – t;2 – t)\)
Ta có: \(CI \bot AB \Leftrightarrow \overrightarrow {CI} .\overrightarrow {AB} = 0\)\( \Leftrightarrow 2 + t – 3 + t – 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = 1\)\( \Rightarrow I(3;0;2)\)
Gọi\(H\)là hình chiếu \(C\) lên mặt phẳng \((P)\)
\(d\left[ {C;(P)} \right] = CH \le CI\)\( \Rightarrow d{\left[ {C;(P)} \right]_{max}} = CI\)\( \Rightarrow CI \bot (P)\)
Phương trình mặt phẳng \((P)\)qua \(I\)có vtpt \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IC} = (3;2;1)\)có dạng:
\(3(x – 3) + 2(y – 0) + 1(z – 2) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 2y + z – 11 = 0\).
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời