DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( T \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 8 = 0\) và điểm \(A\left( {1;1;5} \right)\). Mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm \(A\) và cắt mặt cầu \(\left( T \right)\) theo một hình tròn có diện tích lớn nhất?
A.\(\left( \alpha \right):x – 2y + 2z – 9 = 0\).
B. \(\left( \beta \right):x – 2y + 2z = 0\).
C. \(\left( \gamma \right):x + 2y – 2z – 3 = 0\).
D. \(\left( \delta \right):x + 2y – z + 2 = 0\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Nhận xét điểm \(A\) không thuộc hai mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) và \(\left( \gamma \right)\) nên loại phương án B và C
Mặt cầu \(\left( T \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,0;\,0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + 8} = 3\).
Ta có \({d_1} = d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {1 – 2.0 + 2.0 – 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{8}{3}\)
Suy ra bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( T \right)\) là \({r_1} = \sqrt {{R^2} – {d_1}^2} = \sqrt {{3^2} – {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{3}\).
Mặt khác \({d_2} = d\left( {I,\left( \delta \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2.0 – 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = 1\).
Suy ra bán kính đường tròn giao tuyến của \(\left( \delta \right)\) và \(\left( T \right)\) là \({r_2} = \sqrt {{R^2} – {d_2}^2} = \sqrt {{3^2} – {1^2}} = \sqrt 8 \).
Nhận thấy \({r_2} > {r_1}\) nên hình tròn mà \(\left( \delta \right)\) cắt mặt cầu \(\left( T \right)\) sẽ có diện tích lớn nhất.
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời