Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x – 4)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 1)^2} = 81\) và điểm \(A(3;1;1)\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 3 = 0\) đi qua \(A\) và cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\) có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a – 2b + 3c\).\(\left( {a < 0} \right)\)

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x – 4)^2} + {(y – 3)^2} + {(z + 1)^2} = 81\) và điểm \(A(3;1;1)\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz + 3 = 0\) đi qua \(A\) và cắt mặt cầu \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\) có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a – 2b + 3c\).\(\left( {a < 0} \right)\) A.\(T = 9\) B. \(T = - 5\) C. \(T = 8\) D. \(T = 10\) LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(4;3; – 1)\), bán kính \(R = 9\).
Mà \(\overrightarrow {IA} = ( – 1; – 2;2) \Rightarrow IA = 3 < 9 \Rightarrow \) điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \((S)\). Gọi \(r\) là bán kính đường tròn \((C)\) thì \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}(I,(P))} \). \(r\) nhỏ nhất\( \Leftrightarrow \) \(d(I,(P))\) lớn nhất. \(d(I,(P)) \le IA\) nên \(d(I,(P))\) lớn nhất khi \(d(I,(P)) = IA\). Khi đó \(IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = ( - 1; - 2;2)\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\): \( - 1(x - 3) - 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow - x - 2y + 2z + 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = a - 2b + 3c = - 1 - 2( - 2) + 3.2 = 9\). ======== I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)