Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),M\left( { – 2;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – y + 2 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,M\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo một giao tuyến vuông góc với \(AM\).

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),M\left( { – 2;1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x – y + 2 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm \(A,M\) và cắt \(\left( \alpha \right)\) theo một giao tuyến vuông góc với \(AM\).

A. \( – 2x + y + z – 9 = 0\).
B. \( – 2x + y + z + 9 = 0\).
C. \( – x + 2y + z + 4 = 0\).
D. \( – x + 2y + z – 4 = 0\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0} \right)\) là mặt phẳng cần tìm.
Ta có VTPT của mặt phẳng P là: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {A;B;C} \right)\).
Theo giả thiết \(A,M \in \left( P \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A + B + 3C + D = 0\\ – 2A + B + D = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2A + B + D = 0\\A + C = 0\end{array} \right.\left( 1 \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; – 1;0} \right),\overrightarrow {AM} = \left( { – 3;0; – 3} \right)\).
Theo giả thiết \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \cap \left( \alpha \right) = \Delta \\\Delta \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right]\\\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {AM} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {C;C; – A – B} \right)\\ – 3C + 3A + 3B = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A + B – C = 0\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = – C\\B = 2C\\D = – 4C\end{array} \right.\).
Chọn \(C = 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A = – 1\\B = 2\\D = – 4\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right): – x + 2y + z – 4 = 0\).