DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 2\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và\(\left( Q \right)\)chứa \(d\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Gọi \(M,N\) là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng \(MN.\)
A.\(2\sqrt 2 \).
B. \(\frac{4}{{\sqrt 3 }}\).
C. \(\sqrt 6 \).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có \(I\left( {1;2;1} \right)\)và bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IM \bot d\\IN \bot d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {IMN} \right) \bot d\).
Phương trình mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\)là \(2\left( {x – 1} \right) – \left( {y – 2} \right) + 4\left( {z – 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x – y + 4z – 4 = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\)cắt đường thẳng \(d\) tại \(P\). Khi đó tọa độ điểm P là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x – y + 4z – 4 = 0\\\frac{{x – 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{z}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow P\left( {2;0;0} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {IMPN} \right)\), gọi \(K = MN \cap IP\).
Ta có \(IP = \sqrt 6 ;IM = \sqrt 2 \) \( \Rightarrow PM = 2\)\( \Rightarrow MK = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow MN = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.\)
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Để lại phản hồi