Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\;\;\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\;2x – y – 2z – 2 = 0\). \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và tạo với mp\(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {a;\;b;\;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Đẳng thức nào đúng?

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\;\;\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\;2x – y – 2z – 2 = 0\). \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và tạo với mp\(\left( P \right)\) một góc nhỏ nhất. Gọi \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {a;\;b;\;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Đẳng thức nào đúng?

A. \(a – b = – 1.\)
B. \(a + b = – 2.\)
C. \(a – b = 1.\)
D. \(a + b = 0.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; – 1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { – 1;\;2;\;1} \right).\)
Theo giả thiết, \(d \subset \left( Q \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {a;\;b;\;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\) nên ta có \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\)\( \Leftrightarrow – a + 2b + 1 = 0 \Leftrightarrow a = 2b + 1.\quad \left( 1 \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;\; – 1;\; – 2} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {\widehat {\left( P \right),\left( Q \right)}} \right) = \left| {\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} }} \right)} \right| = \frac{{\left| {2a – b – 2} \right|}}{{3.\sqrt {{a^2} + {b^2} + 1} }}\quad \quad \left( 2 \right)\)
Thế \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(\cos \left( {\widehat {\left( P \right),\left( Q \right)}} \right) = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + 4b + 2} }}\)
Khi góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nhỏ nhất thì \(\cos \left( {\widehat {\left( P \right),\left( Q \right)}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số \(f\left( b \right) = \frac{b}{{\sqrt {5{b^2} + 4b + 2} }}\), có \(f’\left( b \right) = \frac{{2b + 2}}{{\sqrt {{{\left( {5{b^2} + 4b + 2} \right)}^3}} }} = 0 \Leftrightarrow b = – 1\).
Bảng biến thiên

Từ đó suy ra với hàm số \(g\left( b \right) = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + 4b + 2} }}\) có \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( b \right) = g\left( { – 1} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\) khi \(b = – 1 \Rightarrow a = – 1\)
Vậy: \(a + b = – 2.\)