DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Trong không gian \(Oxyz\)cho 2 mặt phẳng \((P):2x + 2y – z – 3 = 0,(Q):x – y + 4 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}},{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2s\\z = 20 – s\end{array} \right..\) Đường thẳng cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) đồng thời song song với 2 mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) có phương trình là:
A. \(\frac{{x + 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{{ – 4}}\).
B. \(\frac{{x + 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}\).
C. \(\frac{{x + 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 4}}\).
D. \(\frac{{x + 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\).
Giả sử \(d\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(M,N.\)
Vì \(M \in {d_1} \Rightarrow M\left( {1 + 2a;a; – 1 – 2a} \right)\),\(N \in {d_2} \Rightarrow N\left( {1;2b;20 – b} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 2a; – a + 2b;2a – b + 21} \right)\)
Mặt khác \((P)\) có VTPT \({\overrightarrow n _P} = \left( {2;2; – 1} \right)\)và \((Q)\) có VTPT \({\overrightarrow n _Q} = \left( {1; – 1;0} \right)\)
Suy ra \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { – 1; – 1; – 4} \right)\)
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow u \)
\(\frac{{ – 2a}}{{ – 1}} = \frac{{ – a + 2b}}{{ – 1}} = \frac{{2a – b + 21}}{{ – 4}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 2b\\10a – b = – 21\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M( – 3; – 2;3)\\N(1;2;19)\end{array} \right.\)
Như vậy đường thẳng \(d\) qua \(M( – 3; – 2;3)\) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { – 1; – 1; – 4} \right)\) có phương trình là
\(\frac{{x + 3}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}\).
Trả lời