Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y + z + 1 = 0\), hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}\) và \({d_2}:\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt cả \({d_1}\), \({d_2}\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,\,x + y + z + 1 = 0\), hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 4}}{{ – 1}}\) và \({d_2}:\,\,\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với \(\left( P \right)\) đồng thời cắt cả \({d_1}\), \({d_2}\) có phương trình là

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\).
B. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 3}}{1}\).
C. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\).
D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{1}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A\left( {a;2 + 3a; – 4 – a} \right)\), \(B\left( {2b;1 + b; – 3 + b} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \({d_1}\) và \({d_2}\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – a + 2b; – 3a + b – 1;a + b + 1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) khi \(\frac{{ – a + 2b}}{1} = \frac{{ – 3a + b – 1}}{1} = \frac{{a + b + 1}}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.\) từ đó ta tính được \(\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) nên \(\left( d \right):\,\,\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\). Vậy chọn A.