DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z – 3)^2} = 48\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua 2 điểm \(A(0;0; – 4)\) và \(B(2;0;0)\) và cắt \((S)\) theo giao tuyến là đường tròn \((C)\). Khối nón \((N)\) có đỉnh là tâm của \((S)\) và đáy là đường tròn \((C)\) có thể tích lớn nhất bằng
A.\(\frac{{128\pi }}{3}\).
B. \(\frac{{88\pi }}{3}\).
C. \(39\pi \).
D. \(\frac{{215\pi }}{3}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(I(1; – 2;3)\) và bán kính \(R = 4\sqrt 3 \)
Gọi \((P):ax + by + cz + d = 0{\rm{ }}(a,b,c,d \in \mathbb{R};{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0)\)
Là mặt phẳng đi qua \(A(0;0; – 4)\)và \(B(2;0;0)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 4c + d = 0\\2a + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 4c\\a = – 2c\end{array} \right.\\ \Rightarrow (P): – 2cx + by + cz + 4c = 0\end{array}\)
Khi đó đặt
\(\begin{array}{l}x = d(I,(P)) = \frac{{\left| { – 2c – 2b + 3c + 4c} \right|}}{{\sqrt {{{( – 2c)}^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {2b – 5c} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5{c^2}} }} = \frac{{\left| {2b – \sqrt 5 .\sqrt 5 c} \right|}}{{\sqrt {{b^2} + 5{c^2}} }}\\ \le \frac{{\sqrt {({2^2} + {{( – \sqrt 5 )}^2})({b^2} + 5{c^2})} }}{{\sqrt {{b^2} + 5{c^2}} }} = 3\end{array}\)\(\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(\frac{b}{2} = \frac{{c\sqrt 5 }}{{ – \sqrt 5 }} \Leftrightarrow b = – 2c\)
Bán kính đường tròn \((C)\) là: \(R = \sqrt {{R^2} – {d^2}(I,(P))} = \sqrt {48 – {x^2}} \)
Thể tích khối nón \((N)\) là \(V = \frac{{\pi {R^2}x}}{3} = f(x) = \frac{{\pi x(48 – {x^2})}}{3} \le \mathop {max}\limits_{\left[ {0;3} \right]} f(x) = f(3) = 39\pi \)
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời