DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 16\) và các điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\), \(B\left( { – 1;2;2} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\), \(B\) sao cho thiết diện của \(\left( P \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình \(\left( P \right)\) dưới dạng \(\left( P \right):ax + by + cz + 3 = 0\). Tính \(T = a + b + c\).
A.\(3\).
B. \( – 3\).
C. \(0\).
D. \( – 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) bán kính là \(R = 4\).
Ta có \(A\), \(B\) nằm trong mặt cầu. Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(AB\) và \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng \(S = \pi {r^2} = \pi \left( {{R^2} – I{H^2}} \right)\). Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất. Mà \(IH \le IK\) suy ra \(\left( P \right)\) qua \(A,B\) và vuông góc với \(IK\).
Ta có \(IA = IB = \sqrt 5 \) suy ra \(K\) là trung điểm của \(AB\). Vậy \(K\left( {0;1;2} \right)\) và \(\overrightarrow {KI} = \left( {1;1;1} \right)\).
Vậy \(\left( P \right):\left( {x – 1} \right) + y + \left( {z – 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow – x – y – z + 3 = 0\).
Vậy \(T = – 3\).
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời