Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có điểm \(A\) trùng với gốc của hệ trục tọa độ, \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(A'(0;0;b)\) \((a > 0,b > 0)\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(CC’\). Giá trị của tỉ số \(\frac{a}{b}\) để hai mặt phẳng \((A’BD)\) và \(\left( {MBD} \right)\) vuông góc với nhau là

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A’B’C’D’\) có điểm \(A\) trùng với gốc của hệ trục tọa độ, \(B(a;0;0)\), \(D(0;a;0)\), \(A'(0;0;b)\) \((a > 0,b > 0)\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(CC’\). Giá trị của tỉ số \(\frac{a}{b}\) để hai mặt phẳng \((A’BD)\) và \(\left( {MBD} \right)\) vuông góc với nhau là
A.\(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \( – 1\).
D. \(1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Rightarrow C\left( {a;a;0} \right)\).
Và \(ACC’A’\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {AA’} \) \( \Rightarrow C’\left( {a;a;b} \right)\).
\(CC’\) có trung điểm \(M\left( {a;a;\frac{b}{2}} \right)\)
\(\overrightarrow {BA’} = \left( { – a;0;b} \right)\) và \(\overrightarrow {BD} = \left( { – a;a;0} \right)\)\( \Rightarrow \left( {A’BD} \right)\) có vtpt \(\left[ {\overrightarrow {BA’} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { – ab; – ab; – {a^2}} \right) \Rightarrow \) vtpt khác của \(\left( {A’BD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1;\frac{a}{b}} \right)\)(vì \(b > 0\))
\(\overrightarrow {BM} = \left( {0;a;\frac{b}{2}} \right)\)\( \Rightarrow \left( {MBD} \right)\) có vtpt \(\left[ {\overrightarrow {BM} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\frac{{ – ab}}{2};\frac{{ – ab}}{2};{a^2}} \right) \Rightarrow \) vtpt khác của \(\left( {MBD} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1; – \frac{{2a}}{b}} \right)\)(vì \(b > 0\)).
Theo giả thiết \((A’BD) \bot \)\(\left( {MBD} \right) \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2 – 2{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = 1\\\frac{a}{b} = – 1\,\left( l \right)\end{array} \right.\).
========

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)