Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{1},\) \({d_2}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 2z + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) song song với \(\left( P \right)\) và cắt \({d_1},{d_2}\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB\)có độ dài nhỏ nhất. Biết \(d\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\). Giá trị \(2a + 3b\) bằng

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{1},\) \({d_2}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y – 2z + 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) song song với \(\left( P \right)\) và cắt \({d_1},{d_2}\) tại hai điểm \(A,B\) sao cho \(AB\)có độ dài nhỏ nhất. Biết \(d\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\). Giá trị \(2a + 3b\) bằng

A. \(3\).
B. \(5\).
C. \( – 1\).
D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A\left( { – 1 + {t_1}; – 2 + 2{t_1};{t_1}} \right) \in {d_1}\), \(B\left( {2 + 2{t_2};1 + {t_2};1 + {t_2}} \right) \in {d_2}\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – {t_1} + 2{t_2} + 3; – 2{t_1} + {t_2} + 3; – {t_1} + {t_2} + 1} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1;1; – 2} \right)\).
Nếu \(AB//\left( P \right)\) thì \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow n = 0\)\( \Rightarrow 1\left( { – {t_1} + 2{t_2} + 3} \right) + 1\left( { – 2{t_1} + {t_2} + 3} \right) – 2\left( { – {t_1} + {t_2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {t_2} = {t_1} – 4\).
Khi đó \(AB = \sqrt {{{\left( {{t_1} – 5} \right)}^2} + {{\left( { – {t_1} – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = \sqrt {2{t_1}^2 – 8{t_1} + 35} = \sqrt {2{{\left( {{t_1} – 2} \right)}^2} + 27} \ge 3\sqrt 3 \).
Suy ra \(AB\)có độ dài nhỏ nhất bằng \(3\sqrt 3 \), đạt được khi \({t_1} = 2 \Rightarrow {t_2} = – 2\).
Với \({t_1} = 2 \Rightarrow A(1;2;2) \in d\) nhưng không thuộc vào mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên\(AB//\left( P \right)\)
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A,B\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 3; – 3; – 3} \right)\). Chọn vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right)\).
Vậy \({t_1} = 1,{t_2} = 1 \Rightarrow 2{t_1} + 3{t_2} = 5\).