Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 4 – t\end{array} \right.\), \({d_2}:\,\,\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{1} = \frac{{z – 5}}{3}\). Đường thẳng song song với \(\Delta \), đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ – 1}}\) và
hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 4 – t\end{array} \right.\), \({d_2}:\,\,\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{1} = \frac{{z – 5}}{3}\). Đường thẳng song song với \(\Delta \),
đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

A. \(\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}\).
B. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 5}}{{ – 1}}\).
C. \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\).
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 6}}{1}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 – u\\y = 4 + u\\z = 5 + 3u\end{array} \right.\left( {u \in \mathbb{R}} \right)\)
Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) và \({d_1}\) \( \Rightarrow A\left( {1 + 2t\,;\,1 + t\,;\,4 – t} \right)\)
Gọi \(B\) là giao điểm của \(d\) và \({d_2}\) \( \Rightarrow B\left( {3 – u\,;\,4 + u\,;\,5 + 3u} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2 – 2t – u\,;\,3 – t + u\,;\,1 + t + 3u} \right)\)
Nêu \(d//\Delta \) thì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \left( {1\,;\,1\,;\, – 1} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{2 – 2t – u}}{1} = \frac{{3 – t + u}}{1} = \frac{{1 + t + 3u}}{{ – 1}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – 2t – u = 3 – t + u\\ – 2 + 2t + u = 1 + t + 3u\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\u = – 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {3\,;\,2\,;\,3} \right)\) và\(A \notin \Delta \)và nên đường thẳng d là đường thẳng qua hai điểm \(A;B\)
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3\,;\,2\,;\,3} \right)\) vàcó một VTCP \(\overrightarrow {AB} \left( {1\,;\,1\,;\, – 1} \right)\).
Vậy PTCT \(d\): \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\)