Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 4 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 6}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{1}\), \({d_2}:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y – 4}}{{ – 6}} = \frac{{z – 7}}{3}\), \({d_3}:\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ – 4}} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\), \({d_4}:\frac{{x + 13}}{{13}} = \frac{{y – 4}}{{13}} = \frac{{z – 13}}{{ – 13}}\). Gọi \(d\) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc \(d\)?

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 4 đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 6}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{1}\), \({d_2}:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y – 4}}{{ – 6}} = \frac{{z – 7}}{3}\), \({d_3}:\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{{ – 4}} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\), \({d_4}:\frac{{x + 13}}{{13}} = \frac{{y – 4}}{{13}} = \frac{{z – 13}}{{ – 13}}\). Gọi \(d\) là đường thẳng cắt cả 4 đường thẳng trên. Điểm nào sau đây thuộc \(d\)?

A. \(\left( { – 7\,;6\,;\, – 7} \right)\).
B. \(\left( { – 13\,;\,4\,;\,13} \right)\).
C. \(\left( {13\,; – 30\,;\, – 13} \right)\).
D. \(\left( { – 27\,;\, – 18\,;\,27} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
+) Ta có \({d_1}\) qua \(M\left( {1\,;\,6\,;\,5} \right)\) có vtcp là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1 & ; & – 2 & ;\,1} \right)\), \({d_2}\) qua \(N\left( { – 2 & ;\,4\,;\,7} \right)\) có vtcp là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3 & ; & – 6 & ;\,3} \right)\); \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 3 & \,;\, – 2\,;\, & 2} \right)\)\( \Rightarrow {d_1}{\rm{//}}{d_2}\).
+) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa \({d_1}\) và \({d_2}\).
\(\left( \alpha \right)\) qua \(M\left( {1\,;\,6\,;\,5} \right)\) và có vtpt là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} \,;\,\overrightarrow {MN} } \right] = \left( { – 2\,;\, – 5\,;\, – 8} \right)\)
nên \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là \(2x + 5y + 8z – 72 = 0\).
+) Gọi \({d_3} \cap \left( \alpha \right) = P \Rightarrow P(1 + 4{t_1}\,;\, – 2 – 4{t_1}\,;\,1 – 3{t_1})\).
\(P \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 4{t_1}} \right) + 5\left( { – 2 – 4{t_1}} \right) + 8\left( {1 – 3{t_1}} \right) – 72 = 0 \Leftrightarrow {t_1} = – 2\).
Vậy \(P\left( { – 7 & ;\,6 & \,;\,7} \right)\).
+) Gọi \({d_4} \cap \left( \alpha \right) = Q \Rightarrow Q( – 13 + {t_2}\,;\,4 + {t_2}\,;\,13 – {t_2})\).
\(Q \in \left( \alpha \right) \Rightarrow 2\left( { – 13 + {t_2}} \right) + 5\left( {4 + {t_2}} \right) + 8\left( {13 – {t_2}} \right) – 72 = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 26\).
Vậy \(Q\left( {13\,;\,30\,;\, – 13} \right)\).
Ta có đường thẳng \(d\) qua \(P\left( { – 7 & ;\,6 & \,;\,7} \right)\) và có vtcp là \(\overrightarrow {PQ} = \left( {20\,;\,24\,;\, & – 20} \right)\) có phương trình là \(\frac{{x + 7}}{{20}} = \frac{{y – 6}}{{24}} = \frac{{z – 7}}{{ – 20}}\).
Điểm \(K\left( { – 27\,;\, – 18\,;\,27} \right)\) thuộc \(d\).