Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu $(S):(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=27$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(0 ; 0 ;-4), B(2 ; 0 ; 0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón đỉnh là tâm của $(S)$ và đáy là là đường tròn $(C)$ có thể tích lớn nhất. Biết rằng $(\alpha): a x+b y-z+c=0$, khi đó $a-b+c$ bằng

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============

Trong không gian $O x y z$, cho mặt cầu $(S):(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=27$. Gọi $(\alpha)$ là mặt
phẳng đi qua hai điểm $A(0 ; 0 ;-4), B(2 ; 0 ; 0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$
sao cho khối nón đỉnh là tâm của $(S)$ và đáy là là đường tròn $(C)$ có thể tích lớn nhất. Biết
rằng $(\alpha): a x+b y-z+c=0$, khi đó $a-b+c$ bằng
A.\( – 4\).
B. 8.
C. 0.
D. 2.
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1 ;-2 ; 3)$ và bán kính $R=3 \sqrt{3}$.

$\mathrm{Vi}(\alpha): a x+b y-z+c=0$ đi qua hai điểm $A(0 ; 0 ;-4), B(2 ; 0 ; 0)$ nên $c=-4$ và $a=2$.
Suy ra $(\alpha): 2 x+b y-z-4=0$

Đặt $I H=x$, với $0<x<3 \sqrt{3}$ ta có $r=\sqrt{R^{2}-x^{2}}=\sqrt{27-x^{2}}$.

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3} \pi r^{2} I H=\frac{1}{3} \pi\left(27-x^{2}\right) x=\frac{1}{3 \sqrt{2}} \pi \sqrt{\left(27-x^{2}\right) \cdot\left(27-x^{2}\right) \cdot 2 x^{2}} \leq 18 \pi$
$V_{\max }=18 \pi$ khi $27-x^{2}=x^{2} \Leftrightarrow x=3 .$

Khi đó, $d(I ;(\alpha))=\frac{|2 b+5|}{\sqrt{b^{2}+5}}=3 \Leftrightarrow(2 b+5)^{2}=9\left(b^{2}+5\right) \Leftrightarrow b=2$

Vậy $a-b+c=-4$.