Câu hỏi:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} – 2\left( {m – 1} \right)z + {m^2} – 5m = 0\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn\({\left| {{z_0}} \right|^3} = 3\left| {\overline {{z_0}} } \right| + 2\). Tổng các phần tử của tập \(S\) là
A. \(8\).
B. \(9\).
C. \(4\).
D. \(7\).
GY:
Do \(\left| {{z_0}} \right| = \left| {\overline {{z_0}} } \right|\) nên \({\left| {{z_0}} \right|^3} = 3\left| {\overline {{z_0}} } \right| + 2 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^3} – 3\left| {{z_0}} \right| – 2 = 0 \Leftrightarrow \left| {{z_0}} \right| = 2\)
\(\Delta ‘ = {(m – 1)^2} – {m^2} + 5m = 3m + 1\).
TH1: Nếu \(\Delta ‘ \ge 0 \Leftrightarrow 3m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – \frac{1}{3}\), phương trình có 2 nghiệm thực
Khi đó \(\left| {{z_0}} \right| = 2 \Leftrightarrow {z_0} = \pm 2\).
Thay \({z_0} = 2\) vào phương trình ta được: \({m^2} – 9m + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 8\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).
Thay \({z_0} = – 2\) vào phương trình ta được: \({m^2} – m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\).
TH2: Nếu \(\Delta ‘ < 0 \Leftrightarrow 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < – \frac{1}{3}\), phương trình có 2 nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \({z_2} = \overline {{z_1}} ,\,\,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\). Khi đó \({z_1}.{z_2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} = {m^2} – 5m = 4 \Leftrightarrow m = \frac{{5 \pm \sqrt {41} }}{2}\,\).
Vậy\(S = \left\{ {0;1;8} \right\}\).
Suy ra tổng là \(9\).
=======
Trả lời