Tổng tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn \({2^{{x^2} – 1}}\ln {x^2} – {4^x}\ln x – {2^{{x^2}}} + {4^x} \le 0 \) là

Câu hỏi:
Tổng tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn \({2^{{x^2} – 1}}\ln {x^2} – {4^x}\ln x – {2^{{x^2}}} + {4^x} \le 0 \) là

A. \( – 2.\)

B. \( – 1\).

C. \(2.\)

D. \(1.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0\,\,\left( * \right). \)

\({2^{{x^2} – 1}}\ln {x^2} – {4^x}\ln x – {2^{{x^2}}} + {4^x} \le 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^2}}}\ln x – {4^x}\ln x – {2^{{x^2}}} + {4^x} \le 0\\ \Leftrightarrow \ln x\left( {{2^{{x^2}}} – {4^x}} \right) – \left( {{2^{{x^2}}} – {4^x}} \right) \le 0\end{array} \)

\( \Leftrightarrow \left( {{2^{{x^2}}} – {4^x}} \right).\left( {\ln x – 1} \right) \le 0 \).

Trường hợp 1:

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} – {4^x} \ge 0\\\ln x – 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \ge {2^{2x}}\\\ln x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le e\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\2 \le x \le e\end{array} \right.. \)

Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right) \)ta được \(2 \le x \le e \).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) suy ra \(x = 2\) thỏa mãn.

Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} – {4^x} \le 0\\\ln x – 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2}}} \le {2^{2x}}\\\ln x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge e\end{array} \right.. \) Hệ bất phương trình vô nghiệm.

Vậy tổng tất cả các số nguyên \(x \) thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(2.\)

=======