• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thoả mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\). Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Đăng ngày: 27/10/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Phương trình - Tự luận Tag với:Phương trinh có nghiệm, Phuong trinh logarit co nghiem

adsense

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thoả mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\). Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) = f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Lời giải

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) và \(g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{2020}}{{2021}}} \right]\).

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) – f\left( {\frac{1}{{2021}}} \right)\\g\left( {\frac{1}{{2021}}} \right) = f\left( {\frac{1}{{2021}}} \right) – f\left( {\frac{2}{{2021}}} \right)\\…\\g\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right) = f\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right) – f\left( 1 \right)\end{array} \right\} \Rightarrow g\left( 0 \right) + g\left( {\frac{1}{{2021}}} \right) + … + g\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right) = f\left( 0 \right) – f\left( 1 \right) = 0\)

adsense

Đặt \(A = \left\{ {g\left( 0 \right);g\left( {\frac{1}{{2021}}} \right);…;g\left( {\frac{{2020}}{{2021}}} \right)} \right\}\), ta có:

Trường hợp 1: Nếu \(\exists g\left( c \right) \in A\) sao cho \(g\left( c \right) = 0\) thì \(x = c \in \left[ {0;1} \right]\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\).

Trường hợp 2: Nếu mọi phần tử của \(A\) đều khác \(0\) thì tồn tại 2 giá trị \(g\left( a \right),g\left( b \right) \in A\,\,\left( {a < b} \right)\) sao cho \(g\left( a \right),g\left( b \right)\) trái dấu. Mặt khác, \(g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên theo định lý trung gian, \(\exists c \in \left[ {a;b} \right] \subset \left[ {0;1} \right]\) sao cho \(g\left( c \right) = 0\).

Vậy phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) = f\left( {x + \frac{1}{{2021}}} \right)\) có nghiệm trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Thuộc chủ đề:Phương trình - Tự luận Tag với:Phương trinh có nghiệm, Phuong trinh logarit co nghiem

Bài liên quan:

  1. Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{{x^2} – 4x – 12}} – 1} \right]\left( {{3^{2 – {{\log }_3}x}} – 81x} \right) \le 0\)?

  2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(y\) để tồn tại số thực \(x > 1\) thỏa mãn phương trình \(\left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _9}y = {\log _3}\frac{{\sqrt {8x – y + 4} }}{x}\)?

  3. Bất phương trình \(\log _2^2x + {\log _3}\frac{6}{x} \le \left( {1 + {{\log }_3}\frac{6}{x}} \right){\log _2}x\) có số nghiệm nguyên dương là

  4. Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\frac{1}{{10}};4} \right)\) thỏa mãn \({2021^{2{x^2} + xy}} = (1 + xy){2021^{7x}}?\)

  5. Tổng tất cả các số nguyên \(x\) thỏa mãn \({2^{{x^2} – 1}}\ln {x^2} – {4^x}\ln x – {2^{{x^2}}} + {4^x} \le 0 \) là

  6. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn \(x \le 2021;\;y \le 2021\) và \((x + 1){.3^x} = y{.27^y}\)?

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.