Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{{x^2} – 4x – 12}} – 1} \right]\left( {{3^{2 – {{\log }_3}x}} – 81x} \right) \le 0\)?

Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{{x^2} – 4x – 12}} – 1} \right]\left( {{3^{2 – {{\log }_3}x}} – 81x} \right) \le 0\)?

A. Vô số..

B. \(6\).

C. \(5\).

D. \(7\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x > 0\).

Xét \(f\left( x \right) = \left[ {{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{{x^2} – 4x – 12}} – 1} \right]\left( {{3^{2 – {{\log }_3}x}} – 81x} \right),x > 0\)

Ta có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} – 4x – 12}} = 1\\{3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x\end{array} \right.\)

\( \bullet \,\,{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} – 4x – 12}} = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} – 4x – 12}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^0} \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 2\left( L \right)\\x = 6\end{array} \right.\).

\( \bullet \,\,{3^{2 – {{\log }_3}x}} = 81x \Leftrightarrow {\log _3}{3^{2 – {{\log }_3}x}} = {\log _3}81x \Leftrightarrow 2 – {\log _3}x = 4 + {\log _3}x\)\( \Leftrightarrow {\log _3}x = – 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Bảng xét dấu:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le x \le 6\), do đó có 6 số nguyên \(x\) thỏa mãn là: \(1;2;3;4;5;6\).

=======