Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(y\) để tồn tại số thực \(x > 1\) thỏa mãn phương trình \(\left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _9}y = {\log _3}\frac{{\sqrt {8x – y + 4} }}{x}\)?

Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(y\) để tồn tại số thực \(x > 1\) thỏa mãn phương trình \(\left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _9}y = {\log _3}\frac{{\sqrt {8x – y + 4} }}{x}\)?

A. \(5\).

B. \(4\).

C. \(3\).

D. \(6\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

\(\left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _9}y = {\log _3}\frac{{\sqrt {8x – y + 4} }}{x}\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y \in {\mathbb{Z}^ + }\\8x – y + 4 > 0\end{array} \right.\), phương trình trở thành:

\(\left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _3}y = 2{\log _3}\frac{{\sqrt {8x – y + 4} }}{x}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _3}y = {\log _3}\frac{{8x – y + 4}}{{{x^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2}y – 8x + y – 3} \right){\log _3}y = {\log _3}\left( {8x – y + 4} \right) – {\log _3}{x^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2}y – 8x + y – 4} \right){\log _3}y = {\log _3}\left( {8x – y + 4} \right) – {\log _3}\left( {{x^2}y} \right)\,\,\left( * \right)\)

TH1: \(y = 1\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {8x + 3} \right) – {\log _3}\left( {{x^2}} \right)\,\, = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = 8x + 3\,\,\left( {do\,\,x > 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4 + \sqrt {19} \left( N \right)\\x = 4 – \sqrt {19} \,\left( L \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)Nhận \(y = 1\)

TH2: \(y > 1\)\( \Rightarrow {\log _3}y > 0\)

+Nếu \({x^2}y > 8x – y + 4\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) > 0\\VP\left( * \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm

+Nếu \({x^2}y < 8x – y + 4\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) < 0\\VP\left( * \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)Phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm

Do đó: \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2}y = 8x – y + 4\) \( \Rightarrow y = \frac{{8x + 4}}{{{x^2} + 1}} = f\left( x \right)\)

\(f’\left( x \right) = \frac{{ – 8{x^2} – 8x + 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\left( L \right)\\x = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

\(YCBT \Leftrightarrow y \in \left\{ {2;3;4;5} \right\}\).

Vậy có \(5\) giá trị nguyên dương của \(y\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======