Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn \(x \le 2021;\;y \le 2021\) và \((x + 1){.3^x} = y{.27^y}\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn \(x \le 2021;\;y \le 2021\) và \((x + 1){.3^x} = y{.27^y}\)?

A. \(2021\).

B. \(673\).

C. \(674\).

D. \(2020\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \((x + 1){.3^x} = y{.27^y} \Leftrightarrow 3(x + 1){.3^x} = 3y{.27^y} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){.3^{x + 1}} = 3y{.3^{3y}}\quad (*)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = t{.3^t}\) với \(t > 0\). Có \(f’\left( t \right) = {3^t} + t{.3^t}\ln 3 > 0\), với \(\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = t{.3^t}\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) mà phương trình \(\left( * \right)\) có dạng \(f\left( {x + 1} \right) = f\left( y \right)\).

Do \(x,y\) nguyên dương suy ra: Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = 3y \Leftrightarrow y = \frac{{x + 1}}{3}\).

Do \(x,y\) nguyên dương và \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{x + 1}}{3}\\x \le 2021;\;y \le 2021\end{array} \right.\) suy ra có \(\frac{{2022}}{3} = 674\) số nguyên dương \(y\) thỏa mãn đề bài.

Vậy có \(674\) cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài.

=======