Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất

Phần này Tính tích phân dựa vào công thức định nghĩa và tính chất, sau đó có phân tích, ấp dụng vài công thức khác.

A. Lý thuyết cơ bản:

1. Định nghĩa:

Công thức: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b} f{(x)} dx = F{(x)}|_a^b = F{(b)} -F{(a)}$

2. Tính chất của tích phân:

Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên  K  và \(a,b,c\) là ba số thuộc  K .

• \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = – \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
• \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)

B. Ví dụ:

* Ví dụ 1: ( Hàm đa thức)

1) $\int\limits_1^2 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = {2^2} – {1^2} = 3$

2) $\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + x} \right)dx} = \left( {{x^3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.$

$= \left( {{1^3} + \frac{{{1^2}}}{2}} \right) – \left( {{0^3} + \frac{{{0^2}}}{2}} \right) = \frac{3}{2}$

3)  I=$\int\limits_1^{\sqrt 2 } {({x^3} + 2x + 1)dx} $

$=\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + {x^2} + x} \right)\left| {_1^{\sqrt 2 }} \right.$

$= \left( {1 + 2 + \sqrt 2 } \right) – \left( {\frac{1}{4} + 1 + 1} \right) = \frac{3}{4} + \sqrt 2 $

* Ví dụ 2: ( Hàm mũ)

I= $\int\limits_{\frac{{ – 1}}{3}}^1 {{e^{3x + 1}}dx} $

$=\left( {\frac{{{e^{3x + 1}}}}{3}} \right)\left| {_{\frac{{ – 1}}{3}}^1} \right. = \frac{1}{3}({e^4} – {e^0})$

* Ví dụ 3: ( Hàm lượng giác)

1) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = – \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = \left( { – \cos \frac{\pi }{2}} \right) – \left( { – \cos 0} \right) = 1$

2) $\int\limits_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\left( \frac{4}{{{\cos }^{2}}x}-3\sin x \right)dx}$

$=4\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}}-3\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}{\sin xdx}$

$=\left. 4tanx \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}+\left. 3\cos x \right|_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}=8
$

3) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx} =\frac{1}{2} \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx }\)

$= \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}$

4) $\int_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos 3x.\cos 5xdx} $

$=\frac{1}{2}\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{(\cos 8x+\cos 2x)dx}$

$= \left. \frac{1}{2}\left( \frac{1}{8}\sin 8x+\frac{1}{2}\sin 2x \right) \right|_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=0$

* Ví dụ 4: ( Hàm vô tỷ)

$I=\int_{0}^{1}\sqrt{2x+1}dx=\int_{0}^{1}(2x+1)^\frac{1}{2}dx$

$=\frac{1}{2}\frac{2}{3}(2x+1)^\frac{3}{2}|_{0}^{1}=\frac{1}{3}(3\sqrt{2}-1)$

* Ví dụ 5: ( Hàm phân thức)

1) $\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \ln 1 – \ln e = – 1$

2) $\int\limits_1^2 {\frac{4}{{{x^2}}}dx} = 4\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^2}}}dx} = 4\left[ {\left( { – \frac{1}{x}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right.} \right]$

$= 4\left[ {\left( { – \frac{1}{2}} \right) – \left( { – \frac{1}{1}} \right)} \right] = 2$

3) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x}}{{{x^3}}}dx}\)

\(= \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)

\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) – \left( {\ln 1 + 2} \right) = – 1 + \ln 2\)

4) ${I} = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} $

$\begin{array}{l}
{I}= \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} \\
= \left[ {\ln \left| {x + 1} \right| – \ln \left| {x + 2} \right|} \right]_0^1 = \ln \frac{4}{3}
\end{array}$

* Ví dụ 6: ( Hàm giá trị tuyệt đối)

1) Tính tích phân: $I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 1} \right|dx} $

Phân tích : Ta có bảng xét dấu của $x – 1$ trên đoạn [0; 2]

Trên đoạn [0; 1] thì $x – 1 \le 0$ nên $\left| {x – 1} \right| = 1 – x$.

Trên đoạn [1; 2] thì $x – 1 \ge 0$ nên $\left| {x – 1} \right| = x – 1$.

Giải

$I = \int\limits_0^2 {\left| {x – 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx} $

$ = \int\limits_0^1 {\left( {1 – x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx = } \left( {x – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = 1$

Lưu ý : Trong ví dụ 4 ta có thể không cần quan tâm đến dấu của $x – 1$ mà chỉ cần đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân. Ta sẽ giải như sau:

$\int\limits_0^2 {\left| {x – 1} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {x – 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x – 1} \right|dx} $

$ = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {x – 1} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {x – 1} \right)dx} } \right| = \left| {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right.} \right|$

$ = \left| {\frac{1}{2}} \right| + \left| { – \frac{1}{2}} \right| = 1$

=========

2) ${I} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 2x – 3} \right|dx}$

Lập bảng xét dấu x$^2$ + 2x – 3 với x ∈ [0; 2] tương tự ta được
$\begin{array}{l}
{I} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + 2x – 3} \right|dx} = – \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)dx} \\
{I} = \left[ {3x – {x^2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^1 + \left[ { – 3x + {x^2} + \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_1^2 = 4
\end{array}$

=========

Ví dụ 7: Tính tích phân sau
I = $\int\limits_{ – 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} $

Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x = -1 ∈ [-2;2] suy ra hàm số không liên tục trên [-2;2] do đó tích phân trên không tồn tại.

* chú ý: nhiều học sinh thường mắc sai lầm như sau:
$I = \int\limits_{ – 2}^2 {\frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = \int\limits_{ – 2}^2 {\frac{{d(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}}} = – \frac{1}{{x + 1}}\left| {_{ – 2}^2} \right. = – \frac{1}{3} – 1 = – \frac{4}{3}$

* Nguyên nhân sai lầm:
Hàm số y = $\frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}$ không xác định tại x= -1∈ [-2;2] suy ra hàm số không liên tục trên [-2;2] nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.

* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính $\int\limits_a^b {} f(x)dx$ cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên [a; b] không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.