📌 Đề bài (Câu 10 – Nhận biết (NB) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Tìm độ dài của khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x + 1$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Tập xác định và đạo hàm
Hàm số đã cho xác định trên $\mathbb{R}$.
Ta có đạo hàm: $$y’ = \left(\frac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x + 1\right)’ = x^2 – 4x + 3$$
Bước 2: Tìm khoảng nghịch biến của hàm số
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi $y’ \le 0$ (dấu “=” chỉ xảy ra tại các điểm rời rạc):
$$x^2 – 4x + 3 \le 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 3) \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3$$
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
Bước 3: Tính độ dài của khoảng nghịch biến
Độ dài của khoảng $(a; b)$ được tính theo công thức $l = b – a$.
Khoảng nghịch biến là $(1; 3)$ có độ dài: $$l = 3 – 1 = 2$$
👉 Đáp án (kết quả điền số): 2
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Quy tắc xét tính đơn điệu:
- Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi $f'(x) \ge 0, \forall x \in (a; b)$ (đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). Tham khảo thêm dạng bài: Cho hàm số bậc 3 đồng biến trên khoảng nào.
- Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $(a; b)$ khi $f'(x) \le 0, \forall x \in (a; b)$ (đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm). Tham khảo: khảo sát tính đơn điệu hàm số bậc 3.
- Độ dài của khoảng đơn điệu $(a; b)$: Độ dài của khoảng $(a; b)$ hoặc đoạn $[a; b]$ là $l = b – a$.
- Công thức nhanh cho hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a > 0$): Đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$. Nếu phương trình $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thì khoảng nghịch biến là $(x_1; x_2)$ và độ dài khoảng đó là $l = |x_2 – x_1| = \frac{\sqrt{\Delta’}}{3a} \cdot 2 = \frac{\sqrt{\Delta}}{3a}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Tìm độ dài khoảng nghịch biến của hàm số $y = -\frac{x^3}{3} + 4x + 5$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $y’ = -x^2 + 4$. Ta thấy $y’ \ge 0 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$ (khoảng đồng biến có độ dài là $4$). Tuy nhiên các khoảng nghịch biến là $(-\infty; -2)$ và $(2; +\infty)$ là các khoảng vô hạn. Xét bài toán tìm độ dài khoảng đồng biến của hàm số này ta được kết quả $2 – (-2) = 4$.
Đáp án khoảng đồng biến: 4
Bài tập 2: Tìm độ dài của khoảng nghịch biến của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – 3x^2 + 5x – 2$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta có $y’ = x^2 – 6x + 5 = (x – 1)(x – 5)$.
Hàm số nghịch biến khi $y’ \le 0 \Leftrightarrow 1 \le x \le 5$.
Độ dài khoảng nghịch biến là: $5 – 1 = 4$.
Đáp án: 4
Bài tập 3: Cho hàm số $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x + 1$. Độ dài của khoảng nghịch biến của hàm số bằng bao nhiêu?
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $y’ = 6x^2 – 18x + 12 = 6(x^2 – 3x + 2) = 6(x – 1)(x – 2)$.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.
Độ dài khoảng nghịch biến là: $2 – 1 = 1$.
Đáp án: 1
Bài tập 4: Tìm độ dài của khoảng đồng biến của hàm số $y = -x^3 + 3x^2 + 9x – 1$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Ta có $y’ = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 – 2x – 3) = -3(x + 1)(x – 3)$.
Hàm số đồng biến khi $y’ \ge 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 3$.
Độ dài khoảng đồng biến là: $3 – (-1) = 4$.
Đáp án: 4
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \sqrt{4 – x^2}$. Tính độ dài của khoảng đồng biến của hàm số.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Xem thêm dạng bài: Hàm số $y = \sqrt{4 – x^2}$ đồng biến trên khoảng nào?
TXĐ: $[-2; 2]$. Đạo hàm $y’ = \frac{-x}{\sqrt{4 – x^2}}$ với $x \in (-2; 2)$.
$y’ > 0 \Leftrightarrow x \in (-2; 0)$. Khoảng đồng biến của hàm số là $(-2; 0)$.
Độ dài khoảng đồng biến là: $0 – (-2) = 2$.
Đáp án: 2
Để lại phản hồi