Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ Lời giải Đặt: $\begin{cases}a=\tan \alpha \\b=\tan \beta \end{cases}(\alpha,\beta \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$$\Rightarrow \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}=(\tan \alpha+\tan \beta )(1-\tan \alpha.\tan \beta )\cos^{2}\alpha\cos^{2} \beta $$=\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta).\cos\alpha\cos\beta$$=\sin (\alpha+\beta).\cos(\alpha+\beta)$$=\frac{1}{2}\sin (2\alpha+2\beta) \in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$$\Rightarrow$(ĐPCM) ========= Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2})$ Lời giải Đề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2})$ Lời giải $n=1$:Bất đẳng thức luôn đúng.$n=k (k \in N,k\geq 2)$: Giả sử bất đẳng thức đúng,tức là:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{k}^{2})$$n=k+1$: ta cần chứng minh:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k}+a_{k+1}b_{k+1})^{2}$$\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}+a_{k+1}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{k}^{2}+b_{k+1}^{2})$ $(1)$Thật vậy:VP $(1)=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}).(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{k}^{2})+(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}).b_{k+1}^{2}$$a_{k+1}^{2}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{k}^{2})+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}\geq$ […]

Đề bài: Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$ Lời giải Đề bài: Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$ Lời giải $n=1:a_{1} \leq \frac{1}{2}\Rightarrow 1-a_{1}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow $ Bài toán đúng$n=k \in N$: Giả sử bất đẳng […]

Đề bài: Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$ Lời giải Đề bài: Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$ Lời giải Ta có: $x^{2}+y^{2}\leq 2$$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{3}\leq 8=2 \left ( x^{3}+y^{3} \right )^{2}$(vì $ x^{3}+y^{3}=2$)$\Leftrightarrow x^{6}+3x^{2}y^{2} \left ( x^{2}+y^{2} \right )+y^{6}\leq 2\left ( x^{6}+2x^{3}y^{3} +y^{6} \right )$$\Leftrightarrow […]

Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $ Lời giải Ta có : $ \sum\limits_{k = 0}^{2n – 1} {(-t)^k} = \frac{1-t^{2n}}{1+t} $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} \sum\limits_{k = 0}^{2n – 1} […]

Đề bài: Cho $n+2$  số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,…,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,…,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+….+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+….+a_n^2)$. Chứng minh:                                                      $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta}     (1)$ Lời giải Đề bài: […]

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow  \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq  (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}                     b)\sqrt{c}(\sqrt{a-c}+ \sqrt{b-c}) \leq  \sqrt{ab}     $ Lời giải Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow  \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq  (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}                     […]

Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$ Lời giải Đặt $t=x-y \geq 0$$\Rightarrow x=t+y \Rightarrow x^{n}=(t+y)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n C^{k}_{n} t^{n-k}y^{k}$$\geq C^{0}_{n} t^{n}+C^{n}_{n}y^{n}=t^{n}+y^{n}$$\Rightarrow x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n}$$\Rightarrow$ (ĐPCM) ========= Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức […]

Đề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$ Lời giải Đề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$ Lời giải Đặt: $a=2b\tan \alpha,\alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$\{$0$}$\Rightarrow \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}=\frac{4b^2tan^2\alpha-4b^2(tan\alpha-2)^2}{4b^2tan^2\alpha+4b^2}=\frac{\tan ^{2}\alpha-(\tan \alpha-2)^{2}}{1+\tan ^{2}\alpha}$$=4(\tan \alpha-1)\cos^{2}\alpha=2\sin 2\alpha-2(1+\cos 2\alpha)=2(\sin 2\alpha-\cos 2\alpha)-2$$=2\sqrt{2}\sin(2 \alpha-\frac{\pi}{4})-2 \in [-2\sqrt{2}-2,2\sqrt{2}-2]$$\Rightarrow$(ĐPCM) ========= Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,…,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}}$ Lời giải Đề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,…,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}}$ Lời giải $n=1$:Bất đẳng thức luôn đúng.$n=k (k \in N, k\geq 2)$: Giả sử bất đẳng thức đúng,tức là:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{k}} \geq \frac{k}{1+\sqrt[k]{a_{1}.a_{2}…a_{k}}}$$n=k+1$: ta cần chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{k+1}} \geq \frac{k+1}{1+\sqrt[k+1]{a_{1}.a_{2}…a_{k+1}}}$Ta có: $\sum\limits_{i=1}^{k+1} […]