Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $ Lời giải Ta có : $ \sum\limits_{k = 0}^{2n - 1} {(-t)^k} = \frac{1-t^{2n}}{1+t} $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $
Các dạng bất đẳng thức khác
Đề bài: Cho $n+2$ số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,…,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,…,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+….+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+….+a_n^2)$. Chứng minh: $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta} (1)$
Đề bài: Cho $n+2$ số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,...,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,...,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+....+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)$. Chứng minh: $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta} (1)$ Lời giải Đề bài: Cho … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n+2$ số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,…,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,…,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+….+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+….+a_n^2)$. Chứng minh: $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta} (1)$
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2} b)\sqrt{c}(\sqrt{a-c}+ \sqrt{b-c}) \leq \sqrt{ab} $
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2} b)\sqrt{c}(\sqrt{a-c}+ \sqrt{b-c}) \leq \sqrt{ab} $ Lời giải Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2} b)\sqrt{c}(\sqrt{a-c}+ \sqrt{b-c}) \leq \sqrt{ab} $
Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$
Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$ Lời giải Đặt $t=x-y \geq 0$$\Rightarrow x=t+y \Rightarrow x^{n}=(t+y)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$
Đề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$
Đề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$ Lời giải Đề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$ Lời giải Đặt: $a=2b\tan \alpha,\alpha \in … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $ab \neq 0$.Chứng minh rằng:$-2\sqrt{2}-2\leq \frac{a^{2}-(a-4b)^{2}}{a^{2}+4b^{2}}\leq 2\sqrt{2}-2$
Đề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,…,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}}$
Đề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,...,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+...+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}}$ Lời giải Đề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,...,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+...+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n \in N,a_{i} \geq 1,i-1,2,…,n.$Hãy chứng minh:$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+…+\frac{1}{1+a_{n}} \geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}…a_{n}}}$
Đề bài: Đặt: $a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}.n \in N^{*}$Chứng minh rằng: $a_{n+1}>a_{n}$
Đề bài: Đặt: $a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}.n \in N^{*}$Chứng minh rằng: $a_{n+1}>a_{n}$ Lời giải Đề bài: Đặt: $a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}.n \in N^{*}$Chứng minh rằng: $a_{n+1}>a_{n}$ Lời giải Theo BĐT Bernoulli:$\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Đặt: $a_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}.n \in N^{*}$Chứng minh rằng: $a_{n+1}>a_{n}$
Đề bài: Chứng minh rằng : $b(a+1) \leq e^a + b. \ln b, \forall a,b \geq 1$
Đề bài: Chứng minh rằng : $b(a+1) \leq e^a + b. \ln b, \forall a,b \geq 1$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng : $b(a+1) \leq e^a + b. \ln b, \forall a,b \geq 1$ Lời giải Xét hàm số $ y = \ln x , x \geq 1 $ thì hàm số ngược của nó là $x=e^y$Từ đồ thị , ta có : $S_1+S_2 \geq S{OBCA} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng : $b(a+1) \leq e^a + b. \ln b, \forall a,b \geq 1$
Đề bài: Cho $3$ số thực dương phân biệt $a,b,c: (0
Đề bài: Cho $3$ số thực dương phân biệt $a,b,c: (0 Lời giải Đề bài: Cho $3$ số thực dương phân biệt $a,b,c: (0 Lời giải Đặt $\begin{cases}\alpha=\frac{1}{3}(\frac{P}{4}-\sqrt{d-\frac{Q}{2}}) \\ \beta=\frac{1}{3}(\frac{P}{4}+\sqrt{d-\frac{Q}{2}}) \end{cases} \Rightarrow … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $3$ số thực dương phân biệt $a,b,c: (0
Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$
Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$ Lời giải Trong mặt phẳng … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt{x^{2}-2px+2p^{2}}+\sqrt{x^{2}-2qx+2q^{2}}\geq \sqrt{(p-q)^{2}+(|p|+|q|)^{2}}$