Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có: $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có: $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$ Lời giải Ta có : … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$ ta đều có: $2 < {\left( {2 + \frac{1}{n}} \right)^n} < 3$
Các dạng bất đẳng thức khác
Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$
Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$ Lời giải Đề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho 3 số thực $x,y,z$ thỏa mãn : $\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+xy+y^{2}=3 \\ y^{2} +yz+z^{2}=16 \end{array} \right. $Chứng minh rằng $-8 \leq xy+yz+zx \leq 8$
Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng: $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$
Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng: $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$ Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $\begin{cases}x,y,z,t \in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}) \\\sin x+\sin y+\sin z+\sin t= 1\\\cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+\cos 2t \geq \frac{10}{3}\end{cases}$Chứng minh rằng: $ x,y,z,t \in [0;\frac{\pi}{6}]$
Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$ Lời giải Đề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $f,g:[0,1] \to [0,1] $ liên tục.Chứng minh:$(\int\limits_{0}^{1}f(x).g(x)dx)^{2}\leq (\int\limits_{0}^{1}f(x)dx).(\int\limits_{0}^{1}g(x)dx)$
Đề bài: Cho $\begin{cases}0
Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải Đề bài: Cho $\begin{cases}0 Lời giải a)Vì $x\leq y\leq z$, $0 nên:$\frac{x+y}{2}-px-qy=x(\frac{1}{2}-p)+y(\frac{1}{2}-q)$$\leq z(\frac{1}{2}-p)+z(\frac{1}{2}-q)=z(1-p-q)\leq z.r$$\Rightarrow px+qy+rz\geq \frac{x+y}{2}$b)Vì: vai trò $x,y,z$ như nhau,nên ta có … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $\begin{cases}0
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71 Lời giải Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71 Lời giải Đặt $S_n=1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}$. Với $ n=5$ thì $S_5=\frac{143}{60}$ nên $1,71Ngoài ra $S_n\geq S_5=\frac{143}{60}>1,71$.Vậy, bất đẳng thức thứ nhất đã được chứng minh.Bây giờ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh bất đẳng thức:$1,71
Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$
Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, ...,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+...a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+...a_n\leq \frac{n}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, ...,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+...a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+...a_n\leq \frac{n}{3}$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n$ số thực $a_{1}, a_2, …,a_n$ thuộc đoạn $[-1;1]$ thoả mãn: $a_{1}^3+ a_2^3+…a_n^3=0$.Chứng minh rằng $a_{1}+ a_2+…a_n\leq \frac{n}{3}$
Đề bài: Cho $a,b,c $ dương và có $abc=1$. Chứng minh:$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$
Đề bài: Cho $a,b,c $ dương và có $abc=1$. Chứng minh:$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$ Lời giải Đề bài: Cho $a,b,c $ dương và có $abc=1$. Chứng minh:$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$ Lời giải … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $a,b,c $ dương và có $abc=1$. Chứng minh:$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq 1$
Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}…\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}},\forall n\in N^{*}$
Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}},\forall n\in N^{*}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}},\forall n\in N^{*}$ Lời giải $\forall k\in N^{*}$,ta có:$12k^{2}+(k-1)\geq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$\frac{1}{2}.\frac{3}{4}…\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{3n+1}},\forall n\in N^{*}$
Đề bài: Cho $ \begin{cases}\alpha_1,\alpha_2, … , \alpha_n \in (0;\frac{\pi}{2}) , n>3\\\sum\limits_{i=1}^n=\pi \end{cases}$Chứng minh rằng: $(n-\sum\limits_{i=1}^n {\tan^2 \alpha_i} )/(n+ \sum\limits_{i=1}^n {\tan^2 \alpha_i} )\leq \cos \frac{2\pi}{n}$
Đề bài: Cho $ \begin{cases}\alpha_1,\alpha_2, ... , \alpha_n \in (0;\frac{\pi}{2}) , n>3\\\sum\limits_{i=1}^n=\pi \end{cases}$Chứng minh rằng: $(n-\sum\limits_{i=1}^n {\tan^2 \alpha_i} )/(n+ \sum\limits_{i=1}^n {\tan^2 \alpha_i} )\leq \cos \frac{2\pi}{n}$ Lời giải Đề bài: Cho $ \begin{cases}\alpha_1,\alpha_2, ... , \alpha_n \in (0;\frac{\pi}{2}) , … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $ \begin{cases}\alpha_1,\alpha_2, … , \alpha_n \in (0;\frac{\pi}{2}) , n>3\\\sum\limits_{i=1}^n=\pi \end{cases}$Chứng minh rằng: $(n-\sum\limits_{i=1}^n {\tan^2 \alpha_i} )/(n+ \sum\limits_{i=1}^n {\tan^2 \alpha_i} )\leq \cos \frac{2\pi}{n}$