Các dạng bất đẳng thức khác

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức SCHUR: Nếu $a,b,c>0$ và $r>0$ thì:$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b) \geq  0$ Lời giải Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức SCHUR: Nếu $a,b,c>0$ và $r>0$ thì:$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b) \geq  0$ Lời giải Dùng biến đổi tương … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh bất đẳng thức SCHUR: Nếu $a,b,c>0$ và $r>0$ thì:$a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b) \geq  0$

Đề bài: Chứng minh rằng:$n^{n+3}+(n+1)^{n+3} Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$n^{n+3}+(n+1)^{n+3} Lời giải Ta có: $(\frac{n+2}{n+1})^{n+3}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+3}$$=\sum\limits_{k=0}^{n+3} C^{k}_{n+3} 1^{n+3-k}(\frac{1}{n+1})^{k}$$=\sum\limits_{k=0}^{n+3} C^{k}_{n+3}(\frac{1}{n+1})^{k}$        … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$n^{n+3}+(n+1)^{n+3}

Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ Lời giải Đặt: $\begin{cases}a=\tan \alpha \\b=\tan \beta \end{cases}(\alpha,\beta \in … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$

Đề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,...,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})$ Lời giải Đề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,...,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2})$

Đề bài: Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},...,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})...(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$ Lời giải Đề bài: Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},...,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})...(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$ … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$

Đề bài: Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$ Lời giải Đề bài: Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$ Lời giải Ta có: $x^{2}+y^{2}\leq 2$$\Leftrightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{3}\leq 8=2 \left ( x^{3}+y^{3} \right … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}=2.$Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}\leq 2$

Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $ Lời giải Ta có : $ \sum\limits_{k = 0}^{2n - 1} {(-t)^k} = \frac{1-t^{2n}}{1+t} $\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng : $ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k(2k-1)} } < \ln 4 $

Đề bài: Cho $n+2$  số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,...,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,...,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+....+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+....+a_n^2)$. Chứng minh:                                                      $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta}     (1)$ Lời giải Đề bài: Cho … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Cho $n+2$  số thực dương $\alpha, \beta,a_1,a_2,…,a_n$ thỏa $\alpha \leq a_i \leq \beta, \forall i=1,2,…,n$Gọi $S_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+….+a_n), S_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+….+a_n^2)$. Chứng minh:                                                      $\frac{S_2}{S_1^2} \leq \frac{(\alpha+\beta)^2}{4\alpha.\beta}     (1)$

Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow  \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq  (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}                     b)\sqrt{c}(\sqrt{a-c}+ \sqrt{b-c}) \leq  \sqrt{ab}     $ Lời giải Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow  … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh bất đẳng thức:a)$\frac{x^{2} }{a^{2}}+\frac{y^{2} }{b^{2}}=1 \Rightarrow  \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2} } \geq  (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}                     b)\sqrt{c}(\sqrt{a-c}+ \sqrt{b-c}) \leq  \sqrt{ab}     $

Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$ Lời giải Đặt $t=x-y \geq 0$$\Rightarrow x=t+y \Rightarrow x^{n}=(t+y)^{n}=\sum\limits_{k=0}^n … [Đọc thêm...] vềĐề bài: Chứng minh rằng:$x^{n}\geq y^{n} +(x-y)^{n},\forall x\geq y \geq 0,\forall n \in N^{*}$