Đề bài: Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$

Lời giải

Đề bài:
Cho $n \in N,n\geq 1,a_{1},a_{2},…,a_{n} \geq 0$ thỏa mãn :$a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \leq \frac{1}{2}$Hãy chứng minh:$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{n}) \geq \frac{1}{2}$
Lời giải

$n=1:a_{1} \leq \frac{1}{2}\Rightarrow 1-a_{1}\geq \frac{1}{2}\Rightarrow $ Bài toán đúng
$n=k \in N$: Giả sử bất đẳng thức đúng tức là
$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{k}) \geq \frac{1}{2}$
$n=k+1$: ta cần chứng minh:
$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{k+1}) \geq \frac{1}{2}$
Ta có;
$(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{k+1})=$
$=(1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{k+1})[1-(a_{k}+a_{k+1})+a_{k}.a_{k+1}]$
$\geq (1-a_{1}).(1-a_{2})…(1-a_{k+1})[1-(a_{k}+a_{k+1})]\geq \frac{1}{2}$
(vì $a_k+a_{k+1}\le a_{1}+a_{2}+…+a_{k-1}+a_{k}+a_{k+1} \leq \frac{1}{2}$ )
$\Rightarrow $ BĐT đúng với $n=k+1$
Vậy theo nguyên lý quy nạp,ta có điều phải chứng minh.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác