Đề bài: Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2})$

Lời giải

Đề bài:
Cho $1\geq n \in N,a_{i},b_{i} \in R,i=1,2,…,n$.Hãy chứng minh rằng:$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{n}^{2})$
Lời giải

$n=1$:Bất đẳng thức luôn đúng.
$n=k (k \in N,k\geq 2)$: Giả sử bất đẳng thức đúng,tức là:
$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{k}^{2})$
$n=k+1$: ta cần chứng minh:
$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k}+a_{k+1}b_{k+1})^{2}$
$\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}+a_{k+1}^{2}).(b_{1}^{2}+…+b_{k}^{2}+b_{k+1}^{2})$ $(1)$
Thật vậy:
VP $(1)=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}).(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{k}^{2})+(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{k}^{2}).b_{k+1}^{2}$
$a_{k+1}^{2}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{k}^{2})+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}\geq$

$\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k})^2+2a_{1}.b_{1}.a_{k+1}.b_{k+1}+2a_{2}.b_{2}.a_{k+1}.b_{k+1}$
$+…+2a_{k}.b_{k}.a_{k+1}.b_{k+1}+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}\geq$

(vì
$a_i^2.b^2_{k+1}+a^2_{k+1}b^2_i\geq 2a_ib_ia_{k+1}b_{k+1}$)

$\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k})^{2}+2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k}).a_{k+1}b_{k+1}+a_{k+1}^{2}b_{k+1}^{2}$
$\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{k}b_{k}+a_{k+1}b_{k+1})^{2}$
vậy $(1)$ được chứng minh $\Rightarrow $(ĐPCM)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác