Đề bài: Chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1\)b) \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \ldots \times\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}\)

Lời giải

Đề bài:
Chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1\)b) \(\displaystyle \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \ldots \times\frac{2n-1}{2n}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}\)
Lời giải

a) Ta có: \(
\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}\leq \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=2\left ( \sqrt{k}-\sqrt{k-1} \right ).
\)
Do đó: \(
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+2\left ( \sqrt{2}-\sqrt{1} \right )+…+2\left ( \sqrt{n}-\sqrt{n-1} \right )
\)

\(
=1-2+2\sqrt{n}= 2\sqrt{n}-1
\)

b) \(
\frac{2k-1}{2k}=\sqrt{\frac{\left ( 2k-1 \right )^{2}}{\left ( 2k \right )^{2}}}\leq\sqrt{\frac{\left ( 2k-1 \right )^{2}}{\left ( 2k \right )^{2}-1}}=\sqrt{\frac{2k-1}{2k+1}}
\) do đó:
\(
\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times … \times \frac{2n-1}{2n}\leq \sqrt{\frac{1}{3}}\times \sqrt{\frac{3}{5}}\times\ldots \times \sqrt{\frac{2n-1}{2n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{2n}}
\)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác