Đề bài: chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2}\)b)\(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{1\times 3\times 5}+…+\frac{1}{1\times 3\times 5…\left ( 2n+1 \right )}

Lời giải

Đề bài:
chứng minh với mọi số nguyên dương n:a) \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n}\geq \frac{1}{2}\)b)\(\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{1\times 3\times 5}+…+\frac{1}{1\times 3\times 5…\left ( 2n+1 \right )}
Lời giải

a) Đặt \(
\displaystyle S_{n} =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}
\)
\(
S_{n}
\) là tổng của  n số hạng, trong đó số hạng nhỏ nhất là \(
\frac{1}{2n},
\) các số hạng khác đều lớn hơn \(
\frac{1}{2n}.
\) Do đó \(
\displaystyle 
S_{n} \geq \frac{1}{2n}n=\frac{1}{2}
\)
b) ta có: \(
\displaystyle 
\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{1\times 3\times 5}+…+\frac{1}{1\times 3\times 5\times …\left ( 2n+1 \right )}
\)
\(
\displaystyle 
\)
\(
\displaystyle =\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{1}-\frac{1}{3} \right )+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right )+…+\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}\right )\)
\( \displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left ( 2n-1 \right )}\)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác