Đề bài: Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:   $\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Lời giải

Đề bài:
Với $a,b,c>0$ chứng minh rằng:   $\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$
Lời giải

ta có:
   $a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)\geq (a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab$
   $\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\geq (a+b)ab+abc=(a+b+c)ab$
   $
\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{1}{(a+b+c)ab}            (1)$
Tương tự, ta cũng có:
   $
\displaystyle \frac{1}{b^3+c^3+abc}\leq \frac{1}{(a+b+c)bc}                  (2)$
   $
\displaystyle \frac{1}{a^3+c^3+abc}\leq \frac{1}{(a+b+c)ac}                  (3)$
Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2),(3)$ ta được:
   $
\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{a+b+c}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$
   $
\displaystyle \frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$, đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác