Đề bài: Cho $a,b,c\in (0,1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong cách bất đẳng thức sau là sai:                   $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$.

Lời giải

Đề bài:
Cho $a,b,c\in (0,1)$, chứng minh rằng ít nhất một trong cách bất đẳng thức sau là sai:                   $a(1-b)>\frac{1}{4},b(1-c)>\frac{1}{4},c(1-a)>\frac{1}{4}$.
Lời giải

Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân vế ba bất đẳng thức ta được :
    $\displaystyle a(1-b).b(1-c).c(1-a)>\frac{1}{64}\Leftrightarrow a(1-a)b(1-b).c(1-c)>\frac{1}{64}. (^{*})$
Ta có nhận xét:
    $
\displaystyle a(1-a)=a-a^2=\frac{1}{4}-(a-\frac{1}{2})^2\leq  \frac{1}{4} .$ Dấu bằng xảy ra với $
\displaystyle x=\frac{1}{2}$
Tương tự $
\displaystyle b(1-b)\leq \frac{1}{4} $
                 $
\displaystyle c(1-c)\leq  \frac{1}{4} $
Do đó: $
\displaystyle a(1-a).b(1-b).c(1-c)\leq \frac{1}{64}$, tức là $(^{*})$ sai
Vậy ba bất đẳng thức trên không thể đồng thời đúng.

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác