Đề bài: Với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$, chứng minh rằng:   $\frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải

Đề bài:
Với $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=1$, chứng minh rằng:   $\frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Lời giải

Từ giả thiết suy ra $a,b,c\in (0,1)$ và bất đẳng thức được viết lại dưới dạng:
   $
\displaystyle \frac{c}{1-c^2}+\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ta sẽ đi chứng minh :
    $
\displaystyle \frac{a}{1-a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\Leftrightarrow \frac{1}{a(1-a^2)}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$
Thật vậy:
    $
\displaystyle a^2(1-a^2)^2=\frac{1}{2}(2a^2)(1-a^2)(1-a^2)\leq \frac{1}{2}[\frac{2a^2+(1-a^2)+(1-a^2)}{3}]^3=\frac{4}{27}$
    $ \displaystyle \Leftrightarrow a(1-a^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$, đpcm.
Như vậy ,chứng minh tương tự ta có
     $
\displaystyle b(1-b^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}};c(1-c^2)\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$ từ đó suy ra:
     $
\displaystyle \frac{c}{a^2+b^2}+\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{c^2+a^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$, đcmp.
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
      $\begin{cases}a^2+b^2+c^2=1 \\ 2a^2=1-a^2 \\2b^2=1-b^2 \\ 2c^2=1-c^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2+c^2=1 \\ 3a^2=1 \\3b^2=1 \\ 3c^2=1 \end{cases}
\displaystyle  \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác