Đề bài: Gọi \( x_{1},x_{2} \) là các nghiệm của phương trình  \(x^{2}+2kx+a^{2}=0   (a\neq 0) \)Định k để \( \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}\geq5 \)

Lời giải

Đề bài:
Gọi \( x_{1},x_{2} \) là các nghiệm của phương trình  \(x^{2}+2kx+a^{2}=0   (a\neq 0) \)Định k để \( \left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}}\right)^{2}\geq5 \)
Lời giải

Trong phương trình \(x^{2}+2kx+a^{2}=0  \)
 \( \Delta’=k^{2} -a^{2}. \) Với \( \Delta >0\) Phương trình có hai nghiệm \( x_{1}, x_{2}\) và \( x_{1}+ x_{2}=-2k; x_{1}. x_{2}=a^{2}\)
\( \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right )^{2}+\left(\frac{x_{2}}{x_{1}} \right )^{2}= \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}= \frac{x_{1}^{4}+x_{2}^{4}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}= \frac{\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}=\frac{[\left ( x_{1}+x_{2} \right )^{2} -2x_{1}x_{2}]^{2}}{x_{1}^{2}x_{2}^{2}}-2\)
\(= \frac{\left ( -2k\right )^{2} -2a^{2}]^{2}}{a^{4}}-2\)
 Cần tìm k để \(\frac{\left ( -2k\right )^{2} -2a^{2}]^{2}}{a^{4}}-2\geq5\Leftrightarrow \frac{\left ( -2k\right )^{2} -2a^{2}]^{2}}{a^{4}}\geq7\Leftrightarrow \left ( -2k\right )^{2} -2a^{2}]^{2}\geq 7a^{4}\)
\(\Leftrightarrow \left(4k^{2}-2a^{2}\right)^{2}\geq a^{2} \sqrt{7} \)
\(\Leftrightarrow k^{2} \geq \frac{a^{2} \left( 2+ \sqrt{7}\right)}{4}\)

=========
Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác